Теоремы о равносильных уравнениях.

Теорема 1 . Пусть уравнение f(x)=g(x) определено на некотором множестве X и выражение с переменной h(х) определено на этом же множестве, тогда уравнение f(х)+h(х)=g(х)+h(х) будет равносильно уравнению f(х)=g(х) на том же множестве Х.

Следствия из теоремы:

1) Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.

2) Если какое-либо слагаемое в уравнении перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Пусть уравнение f(x)=g(x) определено на некотором множестве Х и выражение с переменной h(x) определено на этом же множестве и оно не обращается в нуль ни при каких значениях х их множества Х, тогда уравнение f(x)*h(x)=g(x)*h(x) будет равносильно уравнению f(x)=g(x) на том же множестве Х.

Следствие из теоремы

Если обе части уравнения умножить на одно и то же число неравное 0, то получим новое уравнение, равносильное данному.

В курсе математики в начальной школе учащиеся решают уравнения двумя способами:

1. подбором

2. решение уравнение способом, в основе которого лежит связь между компонентами арифметических действий и их результатом.

Задания:

- реши уравнение и выполни проверку

- выполни проверку решенных уравнений и найди ошибку

- даны числа 3, 10, х. Составь с помощью этих чисел уравнения и реши их (очень важно, чтобы учащиеся предлагали разные уравнения).

Очень эффективными с точки зрения развития мышления, формирования учебных действий по решению уравнений, усвоению связей между компонентами и их результатом являются упражнения вида:

- даны уравнения (не менее 8), детям предлагается из данных уравнений найти и решить только те, где неизвестное можно найти при помощи указанного действия.

- рассмотрите решение уравнения; определите, чем является неизвестное число в уравнении, вставьте пропущенный знак действия: (х ? 3 = 30 х = 30 : 3)

Все указанные уравнения относятся к простейшим уравнениям. Также учащимся предлагается решение сложных уравнений, где нахождение корня осуществляется в несколько этапов. Для решения сложных уравнений необходимо, чтобы дети знали связи между компонентами и их результатом, правило выполнения порядка действий в выражении, выполняли простейшие преобразования.

Следует систематически предлагать им задания для решения уравнений. Задания должны быть разнообразные, соответствующего уровня сложности.

3 ВОПРОС:Моро 2 кл.2ч.с.8

Отрезок натурального ряда чисел и счет элементов конечного множества. Теоретико-множественный смысл натурального числа. Определение отношения «меньше» для натуральных чисел, его теоретико-множественный смысл. Примеры заданий из начального курса математики, раскрывающих теоретико-множественный смысл натурального числа и отношения «меньше».

Натуральные числа - числа, используемые при счете. Отрезком натурального ряда чисел N_а называется множество, элементами которого являются все те натуральные числа, которые меньше или равны а : N_а = {1, 2, 3, …., а} Например: отрезок N₇ – это множество натуральных чисел, не превосходящих числа 7, т.е. N₇ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Свойства отрезка натурального ряда чисел:

- каждый отрезок натурального ряда должен содержать «1».

- если натуральное число х принадлежит отрезку N_а и х≠а => число, которое следует за х (х+1) будет принадлежать N_а.

(х?N_а и х≠а) => (х+1 ? N_а)

Счетом элементов множества А называется установление взаимно однозначного соответствия между элементами данного множества и отрезком натурального ряда Nа.

В результате пересчета элементов, входящих в данное множество, мы получаем число, которое можно считать характеристикой численности множества.

Взаимно однозначным соответствием между элементами множества X и элементами множества Y называется такое соответствие, при котором каждому элементу из множества X соответствует единственный элемент из множества Y и каждый элемент их множества Y соответсвует единственному элементу из множества Х

Множества называются равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

Множество является конечным, если оно равномощно некоторому отрезку натурального ряда чисел N_а.

Правила счета:

1) Любой элемент из множества может быть назван первым при счете, т.е. пересчитывать элементы можно в любом порядке.

2) Никакой элемент не должен быть пропущен при счете, т.е. должен быть просчитан.

3) Каждый элемент при счете должен быть просчитан только один раз.

Любое натуральное число при счёте носит количественный (количество просчитанных элементов) и порядковый (показано, какой элемент был просчитан под этим номером) смысл.