Расчет статически неопределимых рам на устойчивость методом перемещений

Рассмотрим раму, нагруженную силами, приложенными в узлах.

Пренебрегая изменением длин стержней и их весом, можно считать, что при достаточно малых значениях сил все стержни остаются прямыми и в них возникают только продольные усилия. При достижении нагрузкой критического значения наряду с исходным появляется смежное, деформированное состояние равновесия.

Такой подход является идеализированным (как и при расчете центрально сжатых стержней), т.к реальные нагрузки имеют эксцентриситет приложения, а также имеется начальный прогиб элементов от их собственной массы.

Для расчета рам на устойчивость можно использовать те же методы, что и для расчета на прочность: метод сил, метод перемещений, смешанный метод и т.др.

Смысл расчета рам на устойчивость заключается в определении для всех сжатых элементов критических сил Р_кр и их расчетных длин

Расчету на устойчивость предшествует расчет рамы на прочность любым из известных методов. Затем рама рассчитывается на устойчивость под действием только узловых сжимающих нагрузок, которые берут из эпюры N расчета на прочность.

Порядок расчета рам на устойчивость методом перемещений

Порядок расчета рам на устойчивость аналогичен расчету на прочность.

1. Определяют степень кинематической неопределимости рамы

,

где степень угловой подвижности рамы, равна числу жестких узлов; степень линейной подвижности, равна числу возможных независимых перемещений узлов рамы.

2. Выбирают основную систему метода перемещения, для чего в каждый жесткий узел вводят упругоподатливые защемления (связи 1^го рода), а по направлению возможных перемещений - дополнительные опорные стерженьки (связи 2^го рода).

Например:

P₁ P₂ P₁ P₂

1 2 3

h

l₁ l₂

Заданная система Основная система

3. Составляют систему канонических уравнений. В отличие от аналогичных уравнений расчета на прочность (поперечный изгиб) грузовые коэффициенты R_ip равны нулю, т.к. узловые нагрузки не вызывают реактивных усилий в дополнительных связях. Система канонических уравнений записывается :

Действие внешней нагрузки в данном случае учитывается при вычислении единичных коэффициентов r_ik = r_ki , т.к. при единичных смещениях дополнительных связей деформируемые элементы, в пределах которых действуют сжимающие усилия, находятся в условиях продольно-поперечного изгиба.

4. Порядок определения опорных реакций с учетом сжимающих сил покажем на примере балки, у которой один конец жестко защемлен, другой шарнирно оперт.

M_A j_A=1 N

N

A R_A B

i R_B где

N N

M_A

R_A R_B Для того, чтобы основная система и

заданная были равноценны необходимо чтобы М_А имел такую величину, при которой j_А=1.

,

отсюда

.

Обозначим:

, где

т.е.

Аналогично получают реакции опор и в других случаях.

Схемы и эпюры	Коэффициенты
Z=1 P i EI
P P     l
P Z=1   l
Z=1 P P     l
Z=1 P     l

5. Строят эпюры от единичных смещений наложенных связей. В пределах элементов, которые сжаты внешней нагрузкой, эпюры криволинейны и строятся в соответствии с приведенной выше таблицей. В пределах элементов не подверженных сжатию, эпюры прямолинейны и строятся по таблицам обычного метода перемещений (как при расчете на прочность) .

P₁ P₂ P₁ P₂

1 2 3

A B C

Z₃=1

P₁ P₂

6. Коэффициенты системы канонических уравнений определяют как и в обычном методе перемещений.

r₁₁

и т.д.

r₃₃

7. Для заданной системы уравнений (без свободных членов), возможны два решения: первое, когда все z_i = 0, такое решение нас не устраивает, т.е не соответствует условиям задачи; и второе решение, когда детерминант системы, составленный из единичных коэффициентов = 0.

Раскрывая этот определитель, получаем сложное трансцендентное уравнение, для решения которого необходимо вначале выразить все параметры v_i через один. Затем уравнение решается:

1) методом подстановки;

2) графическим методом.

Метод подстановки самый примитивный способ решения. Применяется для простейших характеристических уравнений.

Сущность графического способа заключается в следующем:

- выбираем произвольное значение параметра v_i и находим det₁ = f (v)

v₁ => det₁

v₂ => det₂

v₃ => det₃

и т.д.

На основании полученных значений строим график функции det = f (v).

det

det = f (v)

v₁ v₂ v₃ v₄ v₅ v

v_кр

Наименьшее значение параметра v, при котором det = 0 называется v_кр.

8. Для стойки, параметры которой мы принимаем за исходные определяем критическую силу:

и расчетную длину стержня:

, отсюда

где: l₀ - расчетная длина стержня;

l - геометрическая длина стержня

или коэффициент приведения геометрической длины к расчетной:

9. Зная соотношение между параметрами остальных элементов и исходным элементом, определяют v_кр для всех остальных сжатых стержней.

10. Затем для всех сжатых стержней определяют Р_кр и l_0..