Сопряженные комплексные числа. Свойства операции сопряжения.
Арифметические действия над комплексными числами.
Сопряженные комплексные числа. Свойства операции сопряжения.
Условимся в дальнейшем не делать различия между комплексным числом вида 
и действительным числом а, т. е. 
; основанием для такого соглашения являются одинаковые «арифметики» в множествах R и С*.
Рассмотрим упорядоченную пару 
. Согласно закону умножения комплексных чисел, имеем 
, тогда 
.
Определение 6. Упорядоченную пару ,.удовлетворяющую
соотношению 
или 
, называют мнимой единицей.
С помощью мнимой единицы можно выразить любое комплексное число. В самом деле, так как
,
то
.
Теперь можно забыть о первоначальном способе задания комплексного числа как пары 
и записывать комплексное число в виде 
.
Определение 7. Выражение 
называют алгебраической формой
комплексного числа. Число а называют действительной частью,
число b – мнимой частью комплексного числа .
Если задано комплексное число 
, то действительную часть числа 
обозначают 
( от франц. reele – «действительный»), а мнимую - 
( от франц. imaginaire – «мнимый»). Например, 
, 
.
Если 
, то число 
- действительное; если 
, то число имеет вид 
и называется чисто мнимым.
Определение 8.Пусть 
. Число 
, отличающееся от лишь
знаком коэффициента при мнимой части, называется
сопряженным числу и обозначается 
.
Итак, по определению, 
.
Если - действительное число, т.е. 
, то 
. Таким образом, любое действительное число равно своему сопряженному.
Из определения комплексного числа (как упорядоченной пары действительных чисел) и определения арифметических действий над упорядоченными парами следует, что
1. 
,
2. 
,
3. 
,
4. 
.
Формула 1 определяет правило сложения двух комплексных чисел: чтобы сложить два комплексных числа, необходимо сложить отдельно их действительные и мнимые части. Формула 2 означает, что при вычитании одного комплексного числа из другого, необходимо вычесть отдельно их действительные и мнимые части.
Формулу 3 можно получить путем умножения по правилам алгебры и замены 
его значением:
.
Чтобы получить формулу 4, необходимо предварительно числитель и знаменатель умножить на 
(число сопряженное числу 
): 
.
Сформулируем основные свойства операции сопряжения:
1) 
; 4) 
;
2) 
; 5) 
;
3) 
; 6) 
.
Упражнение 2. Доказать свойства 1-5 операции сопряжения.
Тригонометрическая форма комплексного числа и
Ее применение.
Формула Муавра.
Полагая в формулах (11) и (11*) 
, получим
(12)
и
(12*)
Формулы (12) и (12*) называются формулами Муавра.
Пример. Найти 
.
Решение. Представим число 
в тригонометрической форме и применим формулу Муавра:
Для показательной формы имеем:
.
Следовательно, 
.
Арифметические действия над комплексными числами.
Сопряженные комплексные числа. Свойства операции сопряжения.
Условимся в дальнейшем не делать различия между комплексным числом вида и действительным числом а, т. е. ; основанием для такого соглашения являются одинаковые «арифметики» в множествах R и С*.
Рассмотрим упорядоченную пару . Согласно закону умножения комплексных чисел, имеем , тогда .
Определение 6. Упорядоченную пару ,.удовлетворяющую
соотношению или , называют мнимой единицей.
С помощью мнимой единицы можно выразить любое комплексное число. В самом деле, так как
,
то
.
Теперь можно забыть о первоначальном способе задания комплексного числа как пары и записывать комплексное число в виде .
Определение 7. Выражение называют алгебраической формой
комплексного числа. Число а называют действительной частью,
число b – мнимой частью комплексного числа .
Если задано комплексное число , то действительную часть числа обозначают ( от франц. reele – «действительный»), а мнимую - ( от франц. imaginaire – «мнимый»). Например, , .
Если , то число - действительное; если , то число имеет вид и называется чисто мнимым.
Определение 8.Пусть . Число , отличающееся от лишь
знаком коэффициента при мнимой части, называется
сопряженным числу и обозначается .
Итак, по определению, .
Если - действительное число, т.е. , то . Таким образом, любое действительное число равно своему сопряженному.
Из определения комплексного числа (как упорядоченной пары действительных чисел) и определения арифметических действий над упорядоченными парами следует, что
1. ,
2. ,
3. ,
4. .
Формула 1 определяет правило сложения двух комплексных чисел: чтобы сложить два комплексных числа, необходимо сложить отдельно их действительные и мнимые части. Формула 2 означает, что при вычитании одного комплексного числа из другого, необходимо вычесть отдельно их действительные и мнимые части.
Формулу 3 можно получить путем умножения по правилам алгебры и замены его значением:
.
Чтобы получить формулу 4, необходимо предварительно числитель и знаменатель умножить на (число сопряженное числу ): .
Сформулируем основные свойства операции сопряжения:
1) ; 4) ;
2) ; 5) ;
3) ; 6) .
Упражнение 2. Доказать свойства 1-5 операции сопряжения.