Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни

Для понимания третьего случая требуются элементарные знания про комплексные числа. Если материал позабылся, прочитайте урок Комплексные числа для чайников, в частности, параграф Извлечение корней из комплексных чисел.

Если характеристическое уравнение Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru имеет сопряженные комплексные корни Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru , Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru (дискриминант Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru ), то общее решение однородного уравнения принимает вид:
Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru , где Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru – константы.
Примечание: Сопряженные комплексные корни почти всегда записывают кратко следующим образом: Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru

Если получаются чисто мнимые сопряженные комплексные корни: Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru , то общее решение упрощается:
Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru

Пример 5

Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка
Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru

Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru
Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru
Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru – получены сопряженные комплексные корни

Ответ: общее решение: Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru

Пример 6

Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка
Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru

Полное решение и ответ в конце урока.

Иногда в заданиях требуется найти частное решение однородного ДУ второго порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям, то есть, решить задачу Коши. Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце задачи добавляется один пункт.

Пример 7

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru , Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru
Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru
Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru , Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru
Получены два различных действительных корня, поэтому общее решение:
Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru

Теперь нужно найти частное решение, соответствующее заданным начальным условиям. Наша задача состоит в том, чтобы найти ТАКИЕ значения константХарактеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru , чтобы выполнялись ОБА условия.

Алгоритм нахождения частного решения следующий:

Сначала используем начальное условие Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru :
Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru
Согласно начальному условию, получаем первое уравнение: Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru или просто Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru

Далее берём наше общее решение Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru и находим производную:
Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru
Используем второе начальное условие Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru :
Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru
Согласно второму начальному условию, получаем второе уравнение: Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru или просто Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru

Составим и решим систему из двух найденных уравнений:
Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru

Допустимо использовать «школьный» метод решения, но в высшей математике чаще применяют метод почленного сложения/вычитания уравнений системы, посетите соответствующий урок, если не знакомы с методом.

В составленной системе удобно разделить второе уравнение на 2 и почленно сложить уравнения:
Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru

Всё, что осталось сделать – подставить найденные значения констант Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru в общее решение Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru :
Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru

Ответ: частное решение: Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru

Проверка осуществляется по следующей схеме:
Сначала проверим, выполняется ли начальное условие Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru :
Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru – начальное условие выполнено.

Находим первую производную от ответа:
Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru
Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru – второе начальное условие тоже выполнено.

Находим вторую производную:
Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru

Подставим Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru и Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru в левую часть исходного дифференциального уравнения Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru :
Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru , что и требовалось проверить.

Такие образом, частное решение найдено верно.

Пример 8

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru , Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru . Выполнить проверку.
Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru

Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока. Если возникли затруднения с нахождение корней характеристического уравнения, прочитайте параграф Извлечение корней из комплексных чисел урока Комплексные числа для чайников. Если не помните значения тригонометрических функций, используйте Тригонометрические таблицы.

Как видите, особых сложностей с однородными уравнениями нет, главное, правильно решить квадратное уравнение.

Иногда встречаются нестандартные однородные уравнения, например уравнение в виде Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru , где при второй производной есть некоторая константа Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru , отличная от единицы (и, естественно, отличная от нуля). Алгоритм решения ничуть не меняется, следует невозмутимо составить характеристическое уравнение и найти его корни. Если характеристическое уравнение Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru будет иметь два различных действительных корня, например: Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru , то общее решение запишется по обычной схеме: Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru .

В ряде случаев из-за опечатки в условии могут получиться «нехорошие» корни, что-нибудь вроде Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru . Что делать, ответ придется записать так:
Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru

С «плохими» сопряженными комплексными корнями наподобие Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru тоже никаких проблем, общее решение:
Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни - student2.ru

То есть, общее решение в любом случае существует. Потому что любое квадратное уравнение имеет два корня.

В заключительном параграфе, как я и обещал, коротко рассмотрим:

Наши рекомендации