Системы дифференциальных уравнений.

Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система вида

(1)

Здесь число уравнений равно числу неизвестных функций.

Решением системы (1) называется совокупность n функций , удовлетворяющих всем уравнениям системы.

Частным решением системы (1) называется решение, удовлетворяющее начальным условиям:

при x=x₀,

где x₀, - заданные числа.

Семейство решений системы (1), зависящее от n произвольных независимых постоянных :

называют обычно общим решением этой системы.

Решение нормальной системы методом исключения можно свести к решению одного дифференциального уравнения n-го порядка.

Решить следующие дифференциальные уравнения

1.1. xy^|+1 = e^y

1.2.

1.3. (1+x²) y^||-2xy^| = 0

1.4. xy^|+1 = e^y

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

1.10.

1.11. y^|-xy² = 2xy

1.12. xy^|+y = y², y(1)=0,5

1.13.

1.14. z^| = 10^x+z

1.15.

1.16.

1.17. 2x²yy^|+y² = 2

1.18. y^| ctgx+y = 2, y(0)=-1

1.19. y^| sinx = y lny, y(p/2)=1

1.20. x²y^| - cos2y = 1

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9. 2ydx – (x+y)dy = 0

2.10. (y²-3x²)dx – 2xydy = 0

2.11. (x²+2xy-y²)dx+(y²+2xy-x²)dy = 0

2.12.

2.13. (y²-2xy)dx+x²dy = 0

2.14. y²+x²y^| = xyy^|

2.15. (x²+y²)y^| = 2xy

2.16. xy^|-y=x

2.17.

2.18.

2.19.

2.20.

3.1. xy^|+y = y² ln x

3.2. (2x+1) y^| = 4x+2y

3.3. x² dy = (2xy+x²-y)dx

3.4. 2x (x²+y) dx = dy

3.5. xy^|+(x+1)y = 3x²e^-x

3.6. (x+y²)dy = ydx

3.7. (sin²y+x ctgy) y^| = 1

3.8. (2x+y) dy = ydx+4 lny dy

3.9. xy dy = (y²+x) dx

3.10. y^| x³ siny = xy^|-2y

3.11. (xy+e^x) dx-x dy = 0

3.12. y = x (y^|-x cosx)

3.13. (xy^|-1) lnx = 2y

3.14. 2e^y-xy^| = 1

3.15. xy²y^| = x²+y³

3.16. xy^|-2x² = 4y

3.17. 2y^|- =

3.18. (2x²y lny-x) y^| = y

3.19. 2xy^|-6y = -x²

3.20. y^|+y cosx = sinx cosx

4.1. 2xy^| y^|| = y^|2-1

4.2. y^|2+2yy^|| = 0

4.3. yy^||+1=y^|2

4.4. y = 2(y^||-1) ctgx

4.5. yy^|| = y^|2-y^|3

4.6. 2yy^|| = y²+y^|2

4.7. y^||2+y^| = xy^||

4.8. y^||+y^|2=2e^-y

4.9. y^||2 = y^|2+1

4.10. 2y^| (y^||+2) = xy^||2

4.11. y^|2 = (3y-2y^|) y^||

4.12. y^|| (2y^|+x) = 1

4.13. (1-x²) y^||+xy^| = 2

4.14. yy^||-2yy^| lny = y^|2

4.15. (y^|+2y) y^|| = y^|2

4.16. xy^|| = y^|+x

4.17. yy^||+y = y^|2

4.18. 2yy^|3+y^|| = 0

4.19. y^|| (3y+4) – 3y^|2 = 0

4.20. 2xy^|y^|| = y^|2+1

5.1. a) y^||+y^|-2y = 0

b) y^||+3y^|-4y = e^-4x+xe^-x

5.2. a) y^||-2y = 0

b) y^||+2y^|-3y = x²e^x

5.3. a) y^||-4y^|+5y = 0

b) y^||-4y^|+8y = e^2x+sin2x

5.4. a) y^||+4y = 0

b) y^||-2y^|+y = 6xe^x

5.5. a) 4y^||+4y^|+y = 0

b) y^||-y = 4shx

5.6. a) y-3y^||+3y^|-y = 0

b) y^||+4y^|+3y=chx

5.7. a) y-3y^|+2y = 0

b) y^||+2y^|+2y = xe^-x

5.8. a) y^||+4y^|+3y = 0

b) y^||+y^| = 2cosx+e^x

5.9. a) 2y^||-5y^|+2y = 0

b) y^||+y = 4sinx

5.10. a) y^||+2y^|+10y = 0

b) y^||-3y^|+2y = x cosx

5.11. a) y^||-2y^|+y = 0

b) y^||+y = 4xe^x

5.12. a) y-6y^||+9y^| = 0

b) y^||+y^|-2y = 3xe^x

5.13. a) y^||+2y^|+y = 0

b) y^||-3y^|+9y = x cosx

5.14. a) y-y^||-y^|+y = 0

b) y^||-2y^|-3y = e^4x

5.15. a) y+8y^||+16y^| = 0

b) y^||-y = 2e^x-x²

5.16. a) y^||+4y^|+3y = 0

b) y^||-3y^|+2y = sinx

5.17. a) y^||+y^|-2y = 0

b) y^||-5y^| = 3x²+sin5x

5.18. a) y^||-3y^|+2y = 0

b) y^||+y = x sinx

5.19. a) y^||-5y^|+4y = 0

b) y^||-9y = e^3x cosx

5.20. a) y^||+2y^|-3y = 0

b) y^||+4y^|+4y = xe^2x

6.1. a) y^||-2y^|+y =

b) y^||-2y^| = e^x (x²+x-3), y(0)=2, y^|(0)=2

6.2. a) y^||+3y^|+2y =

b) y^||+4y = sinx, y(0)=1, y^|(0)=1

6.3. a) y^||+y =

b) 4y^||+16y^|+15y = , y(0)=3, y^|(0)=-5,5

6.4. a) y^||+4y = 2tgx

b) y^||-4y^|+3y = 2x+1, y(0)=0, y^|(0)=-2

6.5. a) y^||+2y^|+y = 3e^-x

b) y^||-2y^|-3y = 3x+2, y(0)=2, y^|(0)=1

6.6. a) y^||+y = 2sec³x

b) y^||-4y^|+3y = 2x+1, y(0)=0, y^|(0)=-2

6.7. a) x³ (y^||-y) = x²-2

b) y^||-6y^|+9y=5sinx, y(0)=-1, y^|(0)=0

6.8. a) y^||-2y^|+y =

b) y^||-2y^|-3y=3x+2, y(0)=2, y^|(0)=1

6.9. a) y^||-4y^|+5y =

b) y^||+4y = (6x+5) e^-2x, y(0)=0, y^|(0)=

6.10. a) y^||-2y^|+y =

b) y^||+2y^|-8y = (12x+20) e^2x, y(0)=0, y^|(0)=1

6.11. a) y^||+y =

b) y^||-2y^|+10y=74sin3x, y(0)=6, y^|(0)=3

6.12. a) y^||-y =

b) y^||+y = -8sinx-6cosx,

6.13. a) y^||+9y =

b) y-3y^|-2y = 9e^2x, y(0)=0, y^|(0)=-3, y^||(0)=3

6.14. a) y^||+4y =

b) y^||-9y = 2x-1, y(0)=1, y^|(0)=1

6.15. a) y^||+2y^|+y =

b) y^|V+y^|| = 2cosx, y(0)=-2, y^|(0)=1, y^||(0)=y(0)=0

6.16. a) y^||+y =

b) y^||-2y^|-3y = 3x+2, y(0)=2, y^|(0)=1

6.17. a) y^||-y =

b) y^||-2y^|+y = 2cosx, y(0)=1, y^|(0)=2

6.18. a) y^||+y = ctg x

b) y^||-2y^|+10y = 10x²+18x+6, y(0)=1, y^|(0)=3,2

6.19. a) y^||+4y = tg2x

b) y^||-2y^| = e^x (x²+x-3), y(0)=2, y^|(0)=2

6.20. a) y^||+4y =

b) y^||-4y^|+13y = e^2x cos3x, y(0)=1, y^|(0)=-1

7.1.

7.2.

7.3.

7.4.

7.5.

7.6.

7.7.

7.8.

7.9.

7.10.

7.11.

7.12.

7.13.

7.14.

7.15.

7.16.

7.17.

7.18.

7.19.

7.20.

Список литературы.

1. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1981.

2. Бугров Я. С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1980.

3. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевников Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высш. математика, 1986.

4. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральое исчисление. – М.: Наука, 1984.

5. Подольский В.А. Сборник задач по математике. – М.: Высш. математика, 1978.

6. Шнейдер Н. С. и др. Краткий курс высшей математики. – М.: В. Ш.,1978.

Содержание

§1. Основные понятия..................................................... 1

§2. Уравнения с разделяющимися переменными......... 2

§3. Однородные уравнения............................................ 2

§4. Линейные уравнения................................................ 3

§5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель 3

§6. Уравнения Лагранжа и Клеро.................................. 5

§7. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. 6

§8. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.............................................................. 7

§9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.............................................................. 8

§10. Системы дифференциальных уравнений........... 10

Список литературы....................................................... 19