Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

y^||+py^|+qy=f(x) (1)

Оно отличается от соответствующего линейного однородного уравнения

y^||+py^|+qy=0 (2)

наличием в правой части некоторой функции f(x).

Для нахождения общего решения уравнения (1) сначала нужно найти общее решение уравнения (2), а затем найти какое-либо частое решение y^* уравнения (1). Их сумма есть общее решение данного неоднородного уравнения (1):

y= + y^*.

Рассмотрим два метода нахождения частного решения.

Метод неопределенных коэффициентов.Если правая часть уравнения (1) имеет вид

(3)

где a и b -действительные числа, а P_n(x) и Q_m(x) – многочлены соответственно n-й и m-й степени с действительными коэффициентами, то частное решение y^* уравнения (1) ищется в виде

(4)

где M_s(x) и N_s(x) – многочлены s-й степени (s – наибольшая из степеней n и m) с неопределенными буквенными коэффициентами, а k – кратность, с которой входит в число корней характеристического уравнения r²+pr+q=0, соответствующего однородному дифференциальному уравнению (2).

Для того, чтобы найти коэффициенты многочленов M_s(x) и N_s(x), искомое частное решение (4) подставляют в левую часть дифференциального уравнения (1) и производят соответствующие упрощения; затем в полученном тождестве приравнивают коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях, что дает систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов, из которой определяют эти коэффициенты.

Укажем вид частного решения y^* для некоторых частных случаев функции (3):

1) если a=0, b=0 (т.е. =0), то f(x)=P_n(x) и частное решение ищется в виде

y^*=x^k(A₀xⁿ+A₁x^n-1+…+A_n),

где k – кратность, с которой нуль входит в число корней характеристического уравнения;

2) если b=0 (т.е. =a), то и частное решение ищется в виде

y^*=x^k (A₀xⁿ+A₁x^n-1+…+A_n),

где k – кратность, с которой a входит в число корней характеристического уравнения;

3) если a=0, n=m=0 (т.е. = ), то и частное решение ищется в виде

где k – кратность, с которой входит в число корней характеристического уравнения.

В том случае, если правая часть уравнения (1) есть сумма функций вида (3), т.е.

f(x)=f₁(x)+f₂(x)+…+f_r(x),

нужно предварительно найти частные решения соответствующие функциям f₁(x),f₂(x),…,f_r(x). Тогда частное решение уравнения (1) запишется в виде

(5)

Метод вариации произвольных постоянных.Более общим методом решения линейного неоднородного уравнения (1) является метод вариации произвольных постоянных.

Пусть y₁ и y₂ – линейно независимые частные решения однородного уравнения (2). Тогда общее решение неоднородного уравнения (1) следует искать в виде

y=C₁(x)y₁+C₂(x)y₂, (6)

где функции C₁(x) и C₂(x) определяются из системы уравнений

(7)

Решая систему алгебраических уравнений (7), находим

(8)

где

(9)

- определитель Вронского, составленный для решений y₁ и y₂.

Интегрируя равенства (8), получаем

(10)

откуда, подставляя найденные функции C₁(x) и C₂(x) в соотношение (6), получим общее решение линейного неоднородного уравнения (1).