С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности

Пусть генеральная совокупность распределена нормально, причем генеральная дисперсия, хотя и неизвестна, но имеются основания предполагать, что она равна гипотетическому (предполагаемому) значению С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru . На практике С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru устанавливается на основании предшествующего опыта, или теоретически.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема п и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru с С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru степенями свободы. Требуется по исправленной дисперсии, при заданном уровне значимости, проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральная дисперсия рассматриваемой совокупности равна гипотетическому значению С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru .

Учитывая, что С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru является несмещенной оценкой генеральной дисперсии, нулевую гипотезу можно записать так: С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru .

Замечание 1. Требуется проверить, что математическое ожидание исправленной дисперсии равно гипотетическому значению генеральной дисперсии. Другими словами, требуется установить значимо, или незначимо, различаются исправленная выборочная и гипотетическая генеральная дисперсии.

Замечание 2.На практике рассматриваемая гипотеза проверяется, если нужно проверить точность приборов, инструментов, станков, методов исследования и устойчивость технологических процессов. Например, если известна допустимая характеристика рассеяния контролируемого размера деталей, изготавливаемых станком-автоматом, равная С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru ,а найденная по выборке исправленная дисперсия окажется значимо больше С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru , то станок требует подналадки.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru . Эта величина случайная, потому что в разных опытах С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru будет принимать различные, наперед неизвестные значения. Поскольку можно доказать, что она имеет распределение С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru с С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru степенями свободы, обозначим ее через С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru , Итак, критерием проверки нулевой гипотезы является С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru .

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Первый случай. Нулевая гипотеза С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru . Конкурирующая гипотеза С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru .

В этом случае строят правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область, в предположении справедливости нулевой гипотезы, была равна принятому уровню значимости: С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru .

Критическую точку С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru находят по таблице критических точек распределения С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru (приложение 5) и тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru , а область принятия нулевой гипотезы неравенством С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru

Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Правило 1.Для того чтобы, при заданном уровне значимости С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru проверить нулевую гипотезу С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому значению, при конкурирующей гипотезе С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru , надо:

1) вычислить наблюдаемое значение критерия С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru ,

2)по таблице критических точек распределения С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru , по заданному уровню значимости С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru и числу степеней свободы С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru , найти критическую точку С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru .

3)Если С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru – нулевую гипотезу отвергают.

Второй случай. Нулевая гипотеза С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru . Конкурирующая гипотеза С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru .

В этом случае строят двустороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область, в предположении справедливости нулевой гипотезы, была равна принятому уровню значимости С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru .

Критические точки – левую и правую границы критической области – находят, требуя, чтобы вероятность попадания критерия в каждый из двух интервалов критической области была равна С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru

Замечание.В таблице критических точек распределения С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru указаны лишь «правые» критические точки, поэтому возникает кажущееся затруднение в отыскании «левой» критической точки. Это затруднение легко преодолеть, если принять во внимание, что события С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru и С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru противоположны и, следовательно, сумма их вероятностей: С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru . Отсюда С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru . Т.е. левую критическую точку можно искать как правую (и значит, ее можно найти по таблице), исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в интервал, расположенный правее этой точки, была равна С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru .

Правило 2.Для того чтобы, при заданном уровне значимости С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru , проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной дисперсии С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru нормальной совокупности гипотетическому значению С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru : С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru , при конкурирующей гипотезе С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru , надо:

1) вычислить наблюдаемое значение критерия С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru ,

2)по таблице критических точек распределения С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru найти левостороннюю критическую точку С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru и правостороннюю критическую точку С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru .

3)Если С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru , нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru или С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru , нулевую гипотезу отвергают.

Третий случай. Нулевая гипотеза С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru . Конкурирующая гипотеза С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru .

Правило 3.При конкурирующей гипотезе С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru :

1)вычислить наблюдаемое значение критерия С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru ,

2) находят критическую точку С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru .

3)Если С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru , нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru , нулевую гипотезу отвергают.

Замечание.В случае, если найдена выборочная дисперсия Dв, вкачестве критерия принимают случайную величину С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru , которая имеет распределение С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru с С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru степенями свободы, либо переходят к С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности - student2.ru .

Пример 3.1 (продолжение).

Случай 1.

Вывод.

Случай 2.

Вывод.

Случай 3.

Вывод.

Наши рекомендации