Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману.

Теорема:

Функция Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru интегрируема на отрезке Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru тогда и только тогда, когда Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru .

Доказательство:

Докажем необходимость условия:

Функция Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru интегрируема на отрезке Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru .

Пусть Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru , тогда Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru , т.е. Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru .

Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru

т.е. Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru и Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru .

Далее имеем: Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru , т.е. Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru .

Необходимость доказана.

Докажем достаточность условия:

Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru .

Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru .

Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru .

Докажем, что Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru .

Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru ,

Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru

Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru ,

Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru , тогда Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru , т.е. Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru ,

Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru .

Достаточность доказана.

Билет 41

Основная теорема о существовании определенного интеграла Римана.

Теорема (Основная)

Ограниченная функция f интегрируема на отрезке [a,b] тогда и только тогда, когда Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru .

Доказательство:

Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru По теореме об интегрируемости (f интегрируема Û Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru ) функция интегрируема тогда и только тогда, когда Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru (1). Надо доказать, что если Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru . Т.е. если найдется одно R*, удовлетворяющее неравенству (1), то оно (неравенство) будет выполняться для всех R. Возьмем произвольное Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru . Нужно найти δ, такое чтобы выполнялось неравенство Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru . По условию теоремы Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru . Рассмотрим наше разбиение R* и произвольное R, как показано на рисунке. Составим разность верхней и нижней сумм Дарбý для нового разбиения R: Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru . Нужно сделать его меньше Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru . Из условия имеем Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru . Обозначим через Σ первую сумму и разобъем ее: Σ=Σ12. Σ1 – такие слагаемые, что элемент нового разбиения R содержит в себе хотя бы одну точку границы старого раазбиения R*. Все остальное войдет в Σ2. Рассмотрим отдельно Σ1 и Σ2:

Σ1: Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru т.к. функция f – ограничена (k - константа). Тогда Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru (M и m – максимум и минимум на [a,b]). Получим Σ1 Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru , где λR<δ, а количество красных отрезков не превосходит 2n. Для того чтобы это неравенство выполнялось, достаточно взять δ< Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru /8kn. Т.е. при δ< Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru /8kn Σ1< Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru /2.

Σ2: разобъем Σ2 на повторные суммы, т.е. Σ2=Σ(Σi). ΣiСуммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ruСуммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru (Mi*-mi*)ΣΔxi*, где Mj и mj – максимум и минимум на j-том участке. Σi – группировка тех новых j-тых участков, которые попали в один и тот же старый. Получим Σ2 Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru ÞΣ12<ε, т.е. Σ< Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru . В итоге:

Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru . Теорема доказана.

Следствие 1: Функция f – интегрируема на [a,b], если Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru с Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru : Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru (если существует такая последовательность разбиений с мелкостью, стремящейся к нулю, что модуль разности последовательности интегральных сумм и интеграла стремится к нулю).

Следствие 2: Функция f – интегрируема на [a,b], если Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru (если верхний интеграл равен нижнему).

Билет 42

Равномерная непрерывность функции. Модуль непрерывности.

Определение 1: Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru ограниченная Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru функция, Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru и Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru при выполнении условия Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru , Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru называется равномерно непрерывной.

Определение 2(Критерий Коши): Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru - равномерно непрерывная функция на отрезке Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru если выполняется условие Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru при Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru .

Теорема 1 (Эквивалентность определений 1 и 2)

Доказательство:

Так как Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru и Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru выполняется Критерий Коши.

Теорема 2

Функция непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем ( Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru ).

Доказательство:

Допустим что теорема неверна. Построим отрицание к определению 2.

Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru . Зададим стремящуюся к нулю последовательность положительных чисел Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru , тогда Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru . Так как точки последовательности Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru принадлежат к отрезку Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru , то эта последовательность ограничена, и из нее можно выделить, по теореме Больцано-Вейерштрасса, подпоследовательность Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru , сходящуюся к некоторой точке Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru . Значит, из нее можно выделить также подпоследовательность Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru . Аналогично выделим подпоследовательность Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru и Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru . Получили противоречие – теорема доказана.

Необходимость условия: Если Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru , то теорема 2 не выполняется.

Пример Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru Пусть Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru при Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману. - student2.ru .

Билет 43

Наши рекомендации