Равномерная дискретизация. Теорема Котельникова

В.А. Котельниковым доказана теорема для функций с ограниченным спектром (теорема отсчетов), которая формулируется следующим образом: если наивысшая частота в спектре функции меньше, чем , то функция полностью определяется последовательностью своих значений в моменты, отстоящие друг от друга не более чем на секунд.

Пусть сигнал, описываемый непрерывной функцией времени , имеет ограниченный спектр, т. е. преобразование Фурье

(4.4)

удовлетворяет условию

при ,

где , а .

В представлении сигнала интегралом Фурье пределы интегрирования можно ограничить значениями :

.(4.5)

Мгновенные значения (рис. 4.1) называются также отсчетами или выборками, являющимися амплитудно-модулированными импульсами (АИМ) с длительностью . В этом случае спектр отсчетов будет периодическим с периодом .

Спектральную функцию можно представить в виде ряда Фурье:

, (4.6)

где коэффициенты разложения

. (4.7)

Сравнивая выражения (4.5) и (4.7), замечаем, что они совпадают с точностью до постоянного множителя , если принять .

Следовательно

.

Подставив это выражение в формулу (4.6), спектральную функцию запишем в виде

. (4.8)

Подставим выражение (4.8) в формулу (4.5), изменив при этом знак при с учетом, что суммирование проводится по всем отрицательным и положительным значениям .Кроме того, учитывая сходимость ряда и интеграла Фурье, изменим порядок операций интегрирования и суммирования:

. (4.9)

После вычисления интеграла

и подстановки полученного результата в формулу (4.9) получим в окончательном виде выражение (4.10):

. (4.10)

В этом выражении обозначает интервал между двумя отсчетными точками на оси времени, а – выборки (отсчеты) функции в моменты времени .

Это выражение показывает, что непрерывная функция с ограниченным спектром может быть точно представлена отсчетами функции , взятыми через равные интервалы

. (4.11)

Как видно из выражения (4.10), непрерывная функция представляется суммой произведений, один из сомножителей которых есть выборка функции, а другой – так называемая функция отсчетов:

, (4.12)

график которой приведен на рис. 4.4.

Рис. 4.4. Функция отсчетов

Свойства функции отсчетов:

а) в точке ,а в точках ,где – любое целое положительное или отрицательное число, отличное от , ;

б) спектральная плотность функции равномерна в полосе частот и равна .

Представление функции рядом Котельникова иллюстрируется рис. 4.5.

Рис. 4.5. Представление сигнала рядом Котельникова

При выводе (4.10) предполагалось, что удовлетворяет условиям Дирихле. Это не дает возможности использовать полученный результат для функций, не стремящихся к нулю при , или для функций, не интегрируемых на интервале (а, в).

Теорема Котельникова относится к сигналам с ограниченным спектром. Реальные сообщения имеют конечную длительность. Спектр таких сигналов не ограничен, т. е. реальные сигналы не соответствуют модели сигнала с ограниченным спектром, и применение теоремы Котельникова к реальным сигналам связано с погрешностями при восстановлении сигналов по формуле (4.10) и неопределенностью выбора шага дискретизации (4.11) или частоты отсчетов .

Приведенные соображения свидетельствуют, что применение теоремы Котельникова к реальным сигналам вызывает определенные трудности в том случае, если теорема рассматривается как точное утверждение. Для практических условий, однако, идеально точное восстановление функций не требуется, необходимо лишь восстановление с заданной точностью. Поэтому теорему Котельникова можно рассматривать как приближенную для функций с неограниченным спектром.

Практически всегда можно определить наивысшую частоту спектра так, чтобы "хвосты" функции времени, обусловленные отсеканием частот, превышающих ,содержали пренебрежимо малую долю энергии по сравнению с энергией исходного сигнала . Связь практической ширины спектра с учитываемой долей энергии определяется равенством Парсеваля. Квадрат относительной погрешности, вызываемой ограничением спектра частотой , определяется как

,

где – полная энергия сигнала ,

– энергия отброшенной части («хвоста») спектра.

При таком допущении для сигнала длительностью с полосой частот общее число независимых параметров [т. е. значений ], которое необходимо для полного задания сигнала, очевидно, будет

.(4.13)

Число отсчетов в данном случае будет наименьшим, что разгружает канал связи и уменьшает необходимый объем памяти при хранении отсчетов.

При этом выражение (4.10) принимает следующий вид (отсчет времени здесь производится от первой выборки):

. (4.14)

Величина представляет собой число степеней свободы сигнала ,так как даже при произвольном выборе значений сумма вида (4.14) определяет функцию, удовлетворяющую условиям заданного спектра и заданной длительности сигнала.

Параметр , который широко применяется в системах передачи информации, называют базойсигнала.

Представление сигналов в виде ряда Котельникова положено в основу построения систем передачи информации с временным уплотнением. Смысл временного уплотнения состоит в том, что в интервале времени между двумя соседними отсчетами одного сигнала можно передавать отсчеты других сигналов. Формирование такого многоканального сигнала показано на рис. 4.6.

Рис. 4.6. Формирование многоканального сигнала в системе при временном уплотнении

Теорема Котельникова лежит в основе импульсных видов модуляции. В частности, период следования импульсов с АИМ1 (2.15) при совпадает с периодом отсчетов по Котельникову.

В заключение заметим, что хотя теорема Котельникова базируется на модели сигнала с ограниченным спектром, она имеет большую теоретическую и практическую ценность. Поэтому представление сигналов рядом Котельникова наиболее широко применяется в технике преобразования, передачи и обработки информации.