Дискретизация и квантование непрерывных сообщений
4.1. Основные понятия и определения
Переход от аналогового представления сигнала к цифровому, который дает в ряде случаев значительные преимущества при передаче, хранении и обработке информации, связан с дискретизацией сигнала по времени и с квантованием его по уровню.
Рассмотрим разновидности сигналов, которые описываются функцией .
Непрерывная функция непрерывного аргумента(непрерывный сигнал, рис. 4.1, а). В этом случае функция иаргумент принимают непрерывные значения.
Непрерывная функция дискретного аргумента(дискретный во времени сигнал, рис. 4.1, б). Здесь значения функции определяются лишь на дискретном множестве значений аргумента .
Дискретная функция непрерывного аргумента(квантованный по уровню сигнал, рис. 4.1, в). В этом случае значения, которые может принимать функция , образуют дискретный ряд чисел .
Дискретная функция дискретного аргумента(цифровой сигнал, рис. 4.1, г). Значения, которые могут принимать функция и аргумент , образуют дискретные ряды чисел соответственно и .
Рис. 4.1.Виды сигналов: а – непрерывный сигнал; б – дискретный по времени сигнал; в – сигнал, квантованный по уровню; г – цифровой сигнал
Дискретизациясостоит в преобразовании сигнала непрерывного аргумента в сигнал дискретного аргумента .
Квантованиепо уровню состоит в преобразовании непрерывного множества значений сигнала в дискретное множество значений .
Совместное применение операций дискретизации и квантования позволяет преобразовывать непрерывный сигнал в дискретный по координатам и .
При квантовании непрерывного сигнала возникает погрешность, обусловленная заменой непрерывных значений сигнала значениями по дискретной шкале уровней (рис. 4.1, г) с ценой деления (шагом квантования) , когда истинное значение сигнала представляется ближайшим значением дискретной шкалы.
Максимальное значение этой погрешности, называемой шумом квантования, очевидно, не будет превышать .
Шум квантования носит случайный характер, и при большом числе уровней квантования его плотность распределения вероятностей внутри интервала принимается равномерной (рис. 4.2). В этом случае среднеквадратическое напряжение шума квантования определяется как
. (4.1)
Если при получении цифрового сигнала (рис. 4.1, г) пронумеровать дискретные уровни, то каждому значению квантованного сигнала будет соответствовать определенное число. Заранее зная цену деления и номер уровня шкалы, всегда можно восстановить истинное значение уровня квантования и, следовательно, квантованного сигнала. Часто в информационных системах номер уровня квантования представляется в двоичной форме.
При этом будет реализован цифровой сигнал из непрерывного (аналогового) (рис. 4.3, а) с двоичной кодово-импульсной модуляцией (КИМ), получившей широкое применение.
Различают последовательный и параллельный двоичные коды (рис. 4.3, б, в). Последовательный обычно используется в системах (подсистемах) передачи информации, а параллельный – например, на шинах магистрали компьютера.
При передаче (преобразовании) синусоидального сигнала его эффективное напряжение на выходе двоичного канала с КИМ составит , где – число разрядов двоичного кода.
В этом случае шумовая относительная среднеквадратическая погрешность в канале с КИМ с учетом (4.1) составит
. (4.2)
Исходя из структуры сигнала (рис. 4.3) для последовательного двоичного кода: и необходимой полосы частот канала с КИМ: (см. раздел 2.10), выражение (4.2) примет вид
. (4.3)
в
Рис. 4.3. Кодово-импульсная модуляция
При обработке сигналов дискретизация по времени должна производиться таким образом, чтобы по отсчетным значениям можно было получить воспроизводящую функцию ,которая с заданной точностью отображает исходную функцию .
Оптимальной является такая дискретизация, которая обеспечивает представление исходного сигнала с заданной точностью при минимальном количестве выборок. В этом случае все отсчеты существенны для восстановления исходного сигнала. При неоптимальной дискретизации, кроме существенных отсчетов, имеются и избыточные отсчеты.
Избыточные отсчеты не нужны для восстановления сигнала с заданной точностью. Они загружают тракт передачи информации, отрицательно сказываются на производительности обработки данных в компьютере, вызывают дополнительные расходы на хранение и регистрацию данных. В связи с этим актуальна задача сокращения избыточных данных. Сокращение избыточной для получателя информации может производиться в процессе дискретизации сигналов. В более общем плане задача сокращения избыточных отсчетов может рассматриваться как задача описания непрерывных сигналов с заданной точностью минимальным числом дискретных характеристик.