Локальная и интегральная теорема Лапласа.

Формула Пуассона

На практике очень часто приходится проводить одно и то же испытание несколько раз.

Определение 3.1. Если вероятность наступления события A в каж- дом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испы- тания называются независимыми относительно событияA .

Определение 3.2. Последовательность независимых относительно события A испытаний называется схемой Бернулли.

Теорема 3.1 (формула Бернулли2). Если вероятность наступления события A в каждом испытании постоянна и равна p , то вероятность

Pn(k )

равна

того, что событие A наступит ровно k раз в серии из n испытаний,

где

q=1 − p.

P(k) = Ckpk

qn−k,

Замечание. Из теоремы 3.1 следует, что вероятность

Pn(k1; k2 )

того,

что событие A наступит не менее пытаний, равна

k1 раз, но не более k2

k 2

раз в серии из n ис-

n n

Pn(k1; k2 ) =

∑ Pn(m) .

m=k1

Пример 3.1. В среднем по 15% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Какова вероятность того, что из десяти договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы: а) три договора? б) не менее двух договоров?

Решение. Пусть событие A– по договору компания выплатит страхо-

вую сумму, тогда

p= P( A) = 0,15 . Вероятность того, что из 10 испытаний со-

бытие Aнаступит ровно 3 раза по формуле Бернулли равна

P10

(3) = C3

⋅0,153 ⋅(1 − 0,15)10 −3 =120 ⋅0,153 ⋅0,857 ≈ 0,13 .

Пусть событие B – из 10 договоров не менее двух будет связано с вы- платой страховой суммы. Рассмотрим событие B – менее двух договоров связано с выплатой. Тогда

P(B) = P10

(0) + P10

(1) = C0

⋅0,150 ⋅0,8510 + C1

⋅0,151 ⋅0,859 ≈ 0,54 .

Таким образом,

P(B) =1 − P(B) ≈ 0,46 .

Формула Бернулли дает точное значение вероятности. Однако при больших значениях n числа испытаний использование ее технически слож- но. В таких ситуациях применяют приближенные формулы.

Теорема 3.2 (локальная теорема Муавра3-Лапласа4). Если веро-

ятность pпоявления события Aв каждом испытании постоянна и отлич-

на от 0 и 1, то вероятность

Pn(k)

может быть посчитана по формуле

P(k) ≈

1 ⎛ k− np⎞

ϕ ,

⎠

⎝

⎜

n npq ⎜

x2

⎟

npq ⎟

где ϕ( x) =

1 e− 2 – функция Гаусса5.

2π

2Якоб Бернулли (1654 – 1705) – швейцарский математик.

3 Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик французского происхождения.

4 Пьер-Симон Лаплас (1749 – 1827) – французский математик и астроном.

Теорема 3.3 (интегральная теорема Муавра-Лапласа). Если ве-

роятность p появления события Aв каждом испытании постоянна и от-

лична от 0 и 1, то вероятность

Pn(k1; k2 )

того, что событие A наступит

не менее

k1 раз, но не более k2

раз в серии из n испытаний, может быть по-

считана по формуле

P k k

⎛ k− np⎞ ⎛ k− np⎞

⎝

⎠

⎝

⎠

≈ Φ 2 − Φ 1

1 x 2

n( 1; 2 )

⎜ ⎟

⎜ npq ⎟

⎜ ⎟ ,

⎜ npq ⎟

где Φ(x) =

∫e− t

2π0

/ 2 dt

– функция Лапласа.

Замечание. На практике локальная и интегральная теоремы Муавра-

Лапласа используются обычно при условии

npq≥ 20 .

Замечание. Значения функций Гаусса

ϕ( x)

и Лапласа

Φ( x)

обычно

берут из специальных таблиц (приложение 1 и приложение 2 соответствен-

но). При этом для отрицательных значений xследует учитывать, что функ-

ция Гаусса – чётная:

Φ(−x) = −Φ( x) .

ϕ(−x) =ϕ( x) , а функция Лапласа – нечётная:

Теорема 3.4 (формула Пуассона6). Если вероятность p появления

события Aв каждом испытании постоянна и очень мала ( p≤ 0,1 ), то веро-

ятность

Pn(k )

может быть посчитана по формуле

k

P(k) ≈ λ

e− λ,

где

λ= np.

n k!

Замечание. Формула Пуассона применяется обычно при условии, что

np≤10 .

Пример 3.2. Фирма раскладывает рекламные листки по почтовым

ящикам. Опыт показывает, что примерно в одном случае из двух тысяч сле- дует заказ. Найдите вероятность того, что при размещении 100 тыс. листков число заказов: а) будет равно 48; б) находится в границах от 45 до 55.

Решение. По условию вероятность того, что получатель листовки сде-

лает заказ, равна

p=1/ 2000 . Так как

npq≈ 50 > 20 , то воспользуемся теоре-

мами Муавра-Лапласа.

Вероятность того, что будет сделано ровно 48 заказов, по локальной тео-

реме Муавра-Лапласа равна

⎠

⎝

⎛ − ⎞

P (48) ≈

1 ϕ⎜ 48

50 ⎟ ≈ 0,14 ⋅ϕ(−0,28) ≈ 0,14 ⋅0,3836 ≈ 0,05 .

100000

49,975 ⎜

49,975 ⎟

5 Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855) – немецкий математик, астроном, физик.

6 Симеон-Дени Пуассон (1781 – 1840) – французский физик и математик.

Вероятность того, что число заказов находится в границах от 45 до 55,

⎠

найдем по интегральной теореме Муавра-Лапласа:

⎝

⎛ − ⎞

⎛ − ⎞

P (45;55) ≈ Φ⎜55

50 ⎟ − Φ⎜45

50 ⎟ ≈ 2 ⋅Φ(0,71) ≈ 0,52 .

⎜ 49,975 ⎟

⎜ 49,975 ⎟

⎝

Теоретические вопросы и задания

1. В каких случаях можно пользоваться формулой Бернулли?

2. Сформулируйте локальную и интегральную теоремы Муавра-Лапласа. При каких условиях ими можно пользоваться для нахождения вероятностей?

3. Сформулируйте теорему Пуассона. В каких случаях она применяется?

⎠

Задачи и упражнения

1. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными 0,5, определите вероятность того, что в данной семье: а) пять мальчиков; б) мальчиков не менее трёх, но и не более восьми.

2. Что вероятнее: а) выиграть у равносильного противника две партии из че- тырёх или три партий из шести; б) выиграть не менее двух партий из че- тырёх или не менее трёх партий из шести?

3. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью не меньшей,

чем 0,9 быть уверенным, что орёл выпадет хотя бы один раз?

4. Доля изделий первого сорта составляет в среднем 45%. Определите веро- ятность того, что доля первосортных изделий в партии из 2000 штук от- клонится от среднего значения не более чем на 3%.

5. В банк отправлено 4000 пакетов банкнот. Вероятность того, что пакет со- держит недостаточное или избыточное число банкнот, равна 0,0001. Како- ва вероятность того, что при проверке будет обнаружено: а) три ошибочно укомплектованных пакета; б) не менее трёх пакетов?

6. Известно, что в среднем 80% продаваемых компьютеров работают исправ- но в течение гарантийного срока. Чему равна вероятность того, что в про- данной партии компьютеров проработают исправно: а) 6 компьютеров, ес- ли партия содержит 10 компьютеров; б) 120 компьютеров, если партия со- держит 200 компьютеров?

7. Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами, продаст их, равна 0,7. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы можно было утвер- ждать с вероятностью 0,996, что доля проданных среди них отклонится от

0,7 не более чем на 0,04 (по абсолютной величине)?

8. У страховой компании имеются 10 тыс. клиентов. Каждый из них, страху-

ясь от несчастного случая, вносит 500 руб. Вероятность несчастного случая

0,0055, а страховая сумма, выплачиваемая пострадавшему, составляет 50

тыс. руб. Какова вероятность того, что: а) страховая компания потерпит

убыток; б) на выплату страховых сумм уйдёт более половины всех средств, поступивших от клиентов?

9. В среднем 5% студентов факультета управления сдают экзамен по матема- тике на «отлично». Найдите вероятность того, что из 100 наудачу выбран- ных студентов этого факультета сдадут экзамен по математике на «отлич- но»: а) два студента; б) не менее пяти студентов.

Домашнее задание

1. Адвокат выигрывает в суде в среднем 70% дел. Найдите вероятность того, что он: a) из трех дел не проиграет ни одного; б) из восьми дел выиграет больше половины.

2. Вероятность малому предприятию быть банкротом за время t равна 0,2.

Какова вероятность того, что из шести малых предприятий за время t со-

храняться: а) два; б) более двух?

3. Оптовая база снабжает товаром 10 магазинов. Вероятность того, что в те- чение дня поступит заявка на товар, равна 0,3 для каждого магазина. Най- дите вероятность того, что в течение дня поступит: а) 6 заявок; б) не ме- нее 5 и не более 8 заявок; в) хотя бы одна заявка.

4. Средний процент невозвращения в срок кредита, выдаваемого банком, со- ставляет 5%. Найдите вероятность того, что при выдаче банком 100 креди- тов проблемы с возвратом денег возникнут не менее чем в двух случаях.

5. Владельцы кредитных карточек ценят их и теряют весьма редко. Пусть ве- роятность потерять кредитную карточку в течение недели для произволь- ного владельца равна 0,001. Всего банк выдал карточки 3000 клиентам. Найдите вероятность того, что в предстоящую неделю будет потеряна: а) хотя бы одна кредитная карточка; б) ровно одна кредитная карточка.

Занятие 4. Закон распределения дискретной случайной величины и ее числовые характеристики

Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины.

Определение 4.1. Случайной величиной называется такая величина, которая в результате испытания может принять одно определенное значе- ние, заранее неизвестное и зависящее от ряда случайных факторов.

Случайные величины обычно обозначают последними прописными бук- вами латинского алфавита: X , Y , …, а их значения – соответствующими строчными буквами.

Отметим, что тот факт, что случайная величина приняла какое-то кон-

кретное своё значение, является случайным событием.

Случайные величины бывают дискретными и непрерывными.

Определение 4.2. Случайная величина называется дискретной, если она может принимать только отдельные, изолированные значения, т.е. множество ее значений конечное или счётное.

Определение 4.3. Законом распределения дискретной случайной ве- личины называется соответствие между возможными значениями случай- ной величины и их вероятностями.

X x1 x2 … xn p p1 p2 … pn

Обычно закон распределения дискретной случайной величины задается в виде таблицы:

где

xi ( i=1,

2, ...,

n ) – возможные значения случайной величины X , а

pi –

их вероятности, т.е.

pi= P(X

= xi).

Закон распределения дискретной случайной величины на практике часто бывает неизвестен или трудно обозрим. В этом случае достаточно эффектив- но пользуются лишь некоторыми характеристиками случайной величины.

Определение 4.4. Математическим ожиданием

M( X)

дискретной

случайной величины X называется сумма произведений всех ее значений на их соответствующие вероятности:

n

M( X) = ∑ xk⋅ pk.

k=1

Смысл математического ожидания заключается в том, что оно характери-

зует среднее значение случайной величины.