Совокупность каких-либо n векторов, взятых из системы векторов ранга n, образующая линейно независимую систему, называется базисом исходной системы векторов.
Учитывая это определение, из ранее рассмотренного следует справедливость следующих утверждений:
1. Любая пара неколлинеарных векторов системы векторов на плоскости может быть взята как базис этой системы, т.е., если 
и 
- неколлинеарны и взяты как базис этой системы векторов на плоскости, то любой вектор 
этой системы может быть выражен через выбранный базис равенством: 
, где 
- координаты вектора относительно базиса и , т.е. 
2. Любая тройка некомпланарных векторов системы векторов в пространстве может быть взята как базис этой системы, т.е., если 
- некомпланарны и взяты как базис системы векторов в пространстве, то любой вектор 
этой системы может быть выражен через выбранный базис равенством: 
, где 
- координаты вектора 
относительно базиса 
, т.е. 
.
Равенства и называются формулами разложения векторов системы по выбранным базисным векторам.
Выбор базиса дает возможность однозначно поставить в соответствие каждому вектору системы упорядоченный набор чисел – координат вектора в выбранном базисе. И наоборот, каждому упорядоченному набору чисел в некотором базисе однозначно соответствует некоторый вектор.
Замечания: 1. Наиболее рационально выбирать в виде базиса орты 
и 
на плоскости и орты 
в пространстве, т.е., разложение в этих случаях имеет вид:
или 
2. Чтобы проверить линейную независимость векторов 
,
надо составить определитель из координат этих векторов и найти его значение. Если 
векторы линейно независимы и образуют базис. Иначе, эти векторы называют компланарными.
3.Чтобы найти координаты вектора 
в данном базисе 
т.е., если выполняется равенство 
необходимо составить систему уравнений относительно переменных x,y,z:
и решить эту систему уравнений любым из известных методов.
Найденные значения переменных x,y,z есть координаты вектора в базисе 
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
№ 1 а) Длина вектора на плоскости находится по одной из формул:
, где 
.
или 
, где 
.
Найти длину вектора:
1) 
2) 
, где 
.
б) Длина вектора в пространстве находится по одной из формул:
где
или 
где 
.
Найти длину вектора:
1) 
2) 
, где 
.
№ 2 Направляющими косинусами вектора 
называются числа 
где
; 
; 
.
Найти длину вектора 
и его направляющие косинусы.
№ 3 Скалярным произведением векторов 
и 
называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:
.
Если векторы заданы в координатной форме, то скалярное произведение находят по формуле:
, если 
или 
, если 
Найти скалярное произведение векторов:
1) 
если 
, 
.
2) 
, если 
№ 4 Для нахождения угла между векторами используют одну из формул:
или 
или
Найти угол между векторами:
1) 
2) 
3) 
и 
где А(6;-2), В(-4;8), С(0;-4), D(6;0).
№ 5 Правило умножения вектора на число:
.
Правило сложения векторов:
Выполнить действия: 
где 
№ 6 Базисом 
- мерного пространства 
называют множество 
линейно независимых векторов - мерного пространства. Векторы 
и 
линейно независимы, если определитель, составленный из их координат, отличен от нуля:
Разложить вектор по базису – значит представить этот вектор как линейную комбинацию базисных векторов: 
Для нахождения неизвестных чисел 
необходимо составить систему линейных алгебраических уравнений и решить ее любым способом.
Проверить, составляют ли векторы 
и 
базис в пространстве R3 и найти координаты вектора 
в этом базисе:
№ 7 Два вектора 
и 
или 
и 
перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0.
а) Перпендикулярны ли векторы:
б) При каком х перпендикулярны векторы 
и 
?
№ 8 Два вектора и или 
и 
коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны, т.е. 
или 
.
а) Коллинеарны ли векторы
б) При каком m коллинеарны векторы 
и 
?