Задача 4. определение реакций связей

ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛИТЫ

Однородная прямоугольная плита весом Р=5 кН со сторонами АВ=2а, ВС= а закреплена в точке А сферическим шарниром, а в точке В– цилиндрическим шарниром (подшипником) – и удерживается в равновесии невесомым стержнем .

На плиту действует пара сил с моментом М=6 кНм, лежащая в плоскости плиты, и две силы. Значения этих сил, их направления и точки приложения указаны в таблице 4; при этом точки приложения сил (Д, Е, Н) находятся в серединах сторон плиты.

Определить реакции связей в точках А, В и С. При подсчетах принять а=0,8м.

Таблица 4

Условия к задачи 4

	Сила
Номер варианта
F1=10кН	F1=20кН	F1=30кН	F1=40кН
Точка приложения	α1,град.	Точка приложения	α2,град.	Точка приложения	α1,град.	Точка приложения	α2,град.
	Д				Е	С
	Н		Д
			Е				Д
					Е		Н	С
	Е	С			Н
			Д		Н	С
			Н				Д
	Е		Н
					Д	С	Е
			Е		Д

Схема 1	Схема 2
Схема 3	Схема 4
Схема 5	Схема 6
Схема 7	Схема 8
Схема 9	Схема 10

Пример выполнения задачи 4

Две однородные прямоугольные тонкие плиты, сваренные под прямым углом друг к другу, закреплены сферическим шарниром в точке А, подшипником в точке В и невесомым стержнем СС₁. Стержень СС₁ прикреплен к плите и неподвижной опоре шарнирами (рис.46). Размеры плит в направлениях, параллельных координатным осям Х, У, Zсоответственно равны: CL=DE=2a, CD=LE=AB=3a, AL=BE=a.

Вес большей плиты – Р₁= 3кН, меньшей плиты – Р₂=2кН. Каждая из плит расположена параллельно одной из координатных плоскостей (плоскость ХУ горизонтальная). На плиты действуют пара сил с моментом М=4кН×м, лежащая в плоскости горизонтальной плиты, и четыре силы: F₁=6кН, F₂=8кН,F₃=10кН, F₄=12кН, α₁=30⁰, α₂=30⁰, α₃=0⁰, α₄=60⁰.

Определить реакции связей в точках А и В и реакцию стержня СС₁. При подсчетах принять а=0,6м.

Рисунок 46 – Схема к примеру 4

В данной задаче на конструкцию действует пространственная система произвольно расположенных сил. Пользуясь условиями равновесия, решаем задачу в следующей последовательности:

1. Изображаем силы, действующие на конструкцию. Во всех вариантах сил F₁ расположена в плоскости АХУ или параллельной ей и образует угол α₁ с осью Х; сила F₂ – в плоскости АХZ и образует угол α₂ с осью Z; F₃ – в плоскости АУZ и образует угол α₃ с осью Y; сила F₄ – в плоскости АХУ образует угол α₄ с осью Х. Согласно условиям задачи изображаем эти силы на чертеже (рис.46).

2. Определяем направления реакций связей. Во всех вариантах в точке А – сферический шарнир, поэтому реакцию раскладываем по трем координатным осям Х_А, У_А, Z_А. На всех рисунках в точке В связью является подшипник. Реакция в этом случае имеет две составляющие, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси подшипника. В нашем случае Х_В и Z_В. Там, где опорой является невесомый стержень, реакция направлена вдоль стержня от плиты, предполагая, что стержень растянут.

3. При определении моментов сил относительно осей лучше разложить их на составляющие, параллельные осям координат. Например, сила F₁ расположена в плоскости АХУ и образует угол с осью Х. Раскладываем ее на составляющие по осям:

, .

Применяя теорему Вариньона, найдем момент силы F₁ относительно трех координатных осей:

.

Так как параллельна оси Х, то ,тогда или .

Аналогично относительно оси Y:

Так как параллельна оси Y, то ,

Аналогично определяются моменты всех сил, действующих на плиты. Для пространственной системы произвольно расположенных сил, действующих на плиты, составляем шесть уравнений равновесия.

Решая шесть полученных уравнений относительно неизвестных, найдем их:

ü Из уравнения (22):

.

ü Из уравнения (24):

ü Из уравнения (25):

ü Из уравнения (23):

ü Из уравнения (26):

ü Из уравнения (21):

В результате решения системы уравнений равновесия для пространственной системы сил получили реакции связей в точках А и В и реакцию стержня СС₁.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бутенин, Н.В. Курс теоретической механики: учеб. пособие: в 2 т./ Н.В.Бутенин, Я.Л.Лунц, Д.Р. Меркин. – 5-е изд., испр. – СПб.: Лань, 2008. – 729 с.

2. Расчет рамы, фермы, балки онлайн [Электронный ресурс]. URL: http://rama.sopromat.org/2009/.

3. Тарг, С.М. Краткий курс теоретической механики: учебник / С.М. Тарг. – 15-е изд. – М.: Высшая школа,2007. – 415 с.

4. Яблонский, А.А. Курс теоретической механики: Статика. Кинематика. Динамика : учеб. пособие / А.А. Яблонский, В.М. Никифорова. –14-еизд., испр. – М.: Интеграл-Пресс, 2007. – 608с.