Ассоциативность умножения натуральных чисел.
Теорема (закон ассоциативности умножения)
Доказательство:
ММИ (с) :
Пусть
Докажем: ?
⊠
14. Отношение «>» как отношение строгого порядка на множестве N. Свойство трихотомии: существование.
Определение 1:Пусть . Будем говорить, что
, если
, что
Свойство:
Доказательство: .
Теорема (Свойство трихотомии):
имеет место только одно из соотношений:
Доказательство (существование): , ММИ(
).
Пусть для и
выполняется одно из соотношений
.
Докажем для и
:
:
:
⊠
Определение: Отношение на множестве
называется отношением строгого порядка, если оно:
1) антирефлексивно: :
истина.
2) ассиметрично: :
3) транзитивно: :
Теорема: Отношение является отношением строгого порядка на множестве
.
15. Отношение «>» как отношение строгого порядка на множестве N. Свойство трихотомии: единственность.
Определение 1: Пусть . Будем говорить, что
, если
, что
Свойство:
Доказательство: .
Теорема (Свойство трихотомии):
имеет место только одно из соотношений:
Доказательство (единственность): докажем, что никакие два соотношения одновременно не выполняются:
:
:
:
,
⊠
Определение: Отношение на множестве
называется отношением строгого порядка, если оно:
1) антирефлексивно: :
истина.
2) ассиметрично: :
3) транзитивно: :
Теорема: Отношение является отношением строгого порядка на множестве
.
16. Отношение « » как отношение порядка на множестве N.
Определение: , если
Определение: Отношение на мн-ве
называется отношением порядка, если оно:
1) рефлексивно: :
истина.
2) антисимметрично: :
3) транзитивно: :
Теорема: Отношение « » является отношением порядка на множестве
.
Доказательство: 1), 2) – очевидно.
3) ?
,
,
⊠
17. Отношение « » как отношение линейного порядка на множестве N
Определение : Отношение порядка на множестве
называется линейным, если
выполняется:
.
Теорема: Отношение « » является отношением линейного порядка на множестве
, т.е.
Доказательство: , ММИ(
)
:
Пусть для выполняется
Докажем
,
,
⊠
Закон монотонности сложения на множестве N и следствия из него
Теорема (закон монотонности сложения):
1)
2)
Доказательство: 1) ( )
Если
Если
( )
. От противного: пусть
,
?!
2) Аналогично ⊠
Следствие:
1)
2)
Закон монотонности умножения на множестве N и следствия из него
Теорема (закон монотонности умножения):
1)
2)
Следствие:
1)
2)
Дискретность и архимедовость множества натуральных чисел
Свойство (архимедовость множества )
Доказательство:
⊠
Свойство (дискретность множества )
(Числа и
– соседние. В дискретном множестве все точки изолированы, существует понятие «соседи»)
Доказательство: ,
?! ⊠
Разность натуральных чисел: определение и единственность. Условие существования разности натуральных чисел
Определение: Натуральное число (если оно существует) наз. разностью чисел
и
, если
.
Теорема
1)
2) если разность существует, то она определена единственным образом.
Доказательство:
1)
( ) пусть
,
2)пусть
⊠