Множество натуральных чисел N. Аксиомы Пеано

Множество натуральных чисел N. Аксиомы Пеано

Определение: Множеством натуральных чисел называется непустое множество N, для элементов которого определено отношение «непосредственно следует за» (число которое непосредственно следует за обозначается ), которое удовлетворяет следующим аксиомам:

1) (существует натуральное число 1, которое непосредственно не следует ни за каким натуральным числом)

2) (для каждого натурального числа единственное натуральное число , которое непосредственно следует за ним)

3) (каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом)

4) :

Тогда .

(множество M содержит все натуральные числа)

Аксиомы называются аксиомами Пеано.

Независимость аксиом Пеано

1) (существует натуральное число 1, которое непосредственно не следует ни за каким натуральным числом)

2) (для каждого натурального числа единственное натуральное число , которое непосредственно следует за ним)

3) (каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом)

4) :

Тогда .

(множество M содержит все натуральные числа)

Аксиомы называются аксиомами Пеано.

1) Независимость

1 → 2

2) Независимость

3→5→….

1→2

4→6→….

3) Независимость

1→2→3

4) Независимость

1→3→5→…..

2→4→6→….

Принцип полной математической индукции. Обобщенный принцип полной математической индукции. Примеры доказательства методом математической индукции

: . Тогда (множество M содержит все натуральные числа)

Замечание: Из аксиомы (аксиомы индукции) следует законность доказательств методом мат. индукции, при этом аксиома индукции применяется в следующем виде:

Теорема (принцип полной мат. индукции): Утверждение , верно если выполняются след. условия:

1) – истина

2) истина, то истина.

Доказательство:

(условие 2)

значит, по аксиоме индукции . ⊠

Замечание: Доказательство на основании принципа полной математической индукции называется доказательство методом полной математической индукции. Говорят в этом случае коротко: докажем индукцией по .

База индукции: – истина ?

Предположение индукции:

Шаг индукции: (следует ли из T( ))

Пример: Доказать методом полной мат. индукции, что сумма первых нечетных натуральных чисел равна

1) T(1): – истина.

Сложение натуральных чисел как бинарная алгебраическая операция и как функция. Примеры. Свойство сокращения

Определение: Сложением на множественатуральных чисел называется бинарная алгебраическая операция

(обознач (+), а результат называется суммой), которая удовл. следующим условиям:

Пример: Найти сумму 2+5

Определение: Сложением натуральных чисел называется функция , причем выполняются условия:

Теорема (свойство сокращения):

Доказательство: и . ММИ по :

:

пусть ,

докажем

⊠

Закон монотонности умножения на множестве N и следствия из него

Теорема (закон монотонности умножения):

1)

2)

Следствие:

1)

2)

Поле действительных чисел.

Определение:Модулем действительного числа называется

Определение: Пусть действителные числа, их произведением называется действительное число, которое определяется следующим образом:

Теорема: Множество является кольцом. Умножение на согласуется с умножением на .

Доказательство:

1. для сложения всё уже доказано

2. Умножение – б. а. о.

множество ограничено сверху этого множества.

и единственным образом определено умножение неотрицательных действ-ых чисел.

Следовательно, определено умножение действительных чисел.

3. ассоциативность: доказательство достаточно провести для неотрицательных чисел, потому что для других чисел это следует из этого случая:

<

Аналогично:

согласно следствию теоремы о плотности множества D в множестве

4. дистрибутивность – это равенство очевидно, если одно из чисел равно , или .

Достаточно доказать дистрибутивность для Доказательство аналогично доказательству для ассоциативности. ⊠

Теорема: поле.

Доказательство: достаточно доказать, что если

Будем считать, что Тогда что

последовательность ограниченасверху ⊠

Теорема: Множество действительных чисел содержит множество рациональных чисел. Отношение «=», отношение порядка, операции умножения и сложения на множестве согласуются с соответствующими операциями на множестве

Доказательство: Множество содержит множество , поэтому мн-во содержит мн-во чисел вида ⊠

Определение, свойства и алгебраические операции с комплексными числами. Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах. Вложение поля действительных чисел в поле комплексных чисел

Определение: Системой комплексных чисел называется множество с операциями сложение и умножение:

; .

Теорема: Система комплексных чисел является полем.

Доказательство:

1. Сложение коммут-но, ассоц-но, нулевой элемент ; противоположный .

2. Умножение коммутативно, ассоциативно, единица ;

3. дистрибутивность ⊠

Обозначим – называется комплексной единицей. . . Поэтому .

Определение: Комплексное число записанное в виде называется алгебраической формой комплексного числа.

Утверждение: Сложение и умножение комплексных чисел в алгебраической форме:

;

;

Доказательство:

.

Аналогично для умножения. ⊠

Замечание: Рассмотрим пару . Поставим в соответствие числа на декартовой плоскости с координатами .

Длина вектора

эта форма записи комплексного числа называется тригонометрической.

Утверждение:Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме:

; ,

.

Утверждение: Если , , то .

Определение: Корнем -ой степени из компл. числа назыв. такое число , что .

Обозначение: .

Теорема: Пусть - комплексное число, тогда ровно значений корня -ой степени из и они находятся по формуле:

- арифметическое значение корня.

Следствие: Корни степени из находятся в вершинах правильного -ка.

Следствие: Мн-во всех корней степени из 1 является мультипликативной группой.

Доказательство:

·

бинарная алгебраическая операция

·

· ⊠

Множество натуральных чисел N. Аксиомы Пеано

Определение: Множеством натуральных чисел называется непустое множество N, для элементов которого определено отношение «непосредственно следует за» (число которое непосредственно следует за обозначается ), которое удовлетворяет следующим аксиомам:

1) (существует натуральное число 1, которое непосредственно не следует ни за каким натуральным числом)

2) (для каждого натурального числа единственное натуральное число , которое непосредственно следует за ним)

3) (каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом)

4) :

Тогда .

(множество M содержит все натуральные числа)

Аксиомы называются аксиомами Пеано.

Независимость аксиом Пеано

1) (существует натуральное число 1, которое непосредственно не следует ни за каким натуральным числом)

2) (для каждого натурального числа единственное натуральное число , которое непосредственно следует за ним)

3) (каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом)

4) :

Тогда .

(множество M содержит все натуральные числа)

Аксиомы называются аксиомами Пеано.

1) Независимость

1 → 2

2) Независимость

3→5→….

1→2

4→6→….

3) Независимость

1→2→3

4) Независимость

1→3→5→…..

2→4→6→….

Принцип полной математической индукции. Обобщенный принцип полной математической индукции. Примеры доказательства методом математической индукции

: . Тогда (множество M содержит все натуральные числа)

Замечание: Из аксиомы (аксиомы индукции) следует законность доказательств методом мат. индукции, при этом аксиома индукции применяется в следующем виде:

Теорема (принцип полной мат. индукции): Утверждение , верно если выполняются след. условия:

1) – истина

2) истина, то истина.

Доказательство:

(условие 2)

значит, по аксиоме индукции . ⊠

Замечание: Доказательство на основании принципа полной математической индукции называется доказательство методом полной математической индукции. Говорят в этом случае коротко: докажем индукцией по .

База индукции: – истина ?

Предположение индукции:

Шаг индукции: (следует ли из T( ))

Пример: Доказать методом полной мат. индукции, что сумма первых нечетных натуральных чисел равна

1) T(1): – истина.

Сложение натуральных чисел как бинарная алгебраическая операция и как функция. Примеры. Свойство сокращения

Определение: Сложением на множественатуральных чисел называется бинарная алгебраическая операция

(обознач (+), а результат называется суммой), которая удовл. следующим условиям:

Пример: Найти сумму 2+5

Определение: Сложением натуральных чисел называется функция , причем выполняются условия:

Теорема (свойство сокращения):

Доказательство: и . ММИ по :

:

пусть ,

докажем

⊠