Первообразная и неопределённый интеграл

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f '(x) или дифференциала f '(x)dx данной функции f(x)
В интегральном исчислении решается обратная задача:
Дана функция f(x); требуется найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx в области определения функции f(x), т.е. в этой области функции f(x) и F(x) связаны соотношением

F'(x)=f(x)

или

dF(x)= F'(x)dx= f(x)dx


Определение 1: Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x), если для любого x из области определения f(x) выполняется равенство F'(x)= f(x) или dF(x)= f(x)dx
Из дифференциального исчисления известно что если две функции f(x) и j(x) отличаются друг от друга на постоянную величину, то производные или дифференциалы этих функций равны, т.е. если

f(x) = j(x) + C

то

f '(x) = j'(x)

или

f '(x)dx = j'(x)dx

Известно также, что, и наоборот, если две функции f(x) и j(x) имеют одну и ту же производную или один и тот-же дифференциал, то они отличаются друг от друга на постоянную величину, т.е. если

f '(x) = j'(x) или df(x) = dj(x),

то

f(x) = j(x) + С

Отсюда непосредственно следует, что если в формуле y = F(x) + C мы будем придавать постоянной C все возможные значения, то получим все возможные первообразные функции для функции f (x)
Определение 2: Множество F(x) + C всех первообразных функций для данной функции f (x) , где C принимает все возможные числовые значения, называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом

Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru

Таким образом, по определению,

Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru

где F'(x) = f (x) или dF(x) = f(x)dx иС- произвольная постоянная. В последней формуле f(x) называется подинтегральной функцией, f(x)dx- подинтегральным выражением, а символ Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru - знаком неопределенного интеграла.
Неопределенным интегралом называют не только множество всех первообразных, но и любую функцию этого множества.
Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой любую функцию, дифференциал которой равен подинтегральному выражению, а производная равна подинтегральной функции
Нахождение первообразной по данной функции f(x) называется интегрированием и является действием, обратным дифференцированию.

Таблица элементарных интегралов

Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru

Свойства неопределённого интеграла.

Свойства неопределённого интеграла. Таблица элементарных интегралов

iСвойства неопределенного интеграла базируются на свойствах дифференциала функции.

Напомним, что если Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru – дифференцируемая в точке Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru функция, то произведение

Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru является дифференциалом функции Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru в точке Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru соответственно приращению аргумента Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru .

Для дифференцируемых функций Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru и Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru правила действий над их дифференциалами аналогичны правилам вычисления производных (здесь и везде далее Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru – произвольное число), а именно:

Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru ;

Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru ; Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru ;

Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru ; Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru ;

Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru .

Для первообразной Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru функции Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru из соотношения Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru , Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru имеем Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru или Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru – подведение функции Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru под дифференциал.

Используя указанные равенства, получаем следующие свойства неопределенного интеграла.

Свойство 1. Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru ,

т.е. производная неопределенного интеграла (производная каждой функции множества всех первообразных Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru ) равна подынтегральной функции.

Свойство 2. Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru ,

т.е. дифференциал неопределенного интеграла (дифференциал
каждой функции множества всех первообразных) равен подынтегральному выражению.

Иначе, знаки дифференциала и интеграла взаимно уничтожаются, если знак " Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru " стоит перед знаком " Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru ".

Свойство 3. Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru ,

т.е. неопределенный интеграл от дифференциала какой-либо функции равен сумме этой функции и произвольного числа Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru . Иначе, если знак " Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru " стоит рядом и перед знаком " Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru ", то эти знаки тоже взаимно уничтожаются, причем к функции Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru прибавляется произвольное число Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru .

Свойство 4. Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru

аддитивность по функции операции интегрирования, т.е. неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме неопределенных интегралов от этих функций (предполагается, что все участвующие в равенстве интегралы существуют). При этом, если Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru и Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru , то записывают Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru , объединяя Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru и Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru в одну произвольную постоянную Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru .

Свойство 4 верно для суммы конечного множества слагаемых.

Свойство 5. Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru , Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru , Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru

Однородность операции интегрирования, т.е. при вычислении неопределенного интеграла постоянный ненулевой множитель можно
выносить за знак интеграла (соответственно можно вносить под знак интеграла).

ВОПРОС 55. Интегрирование заменой переменной. Интегрирование методом подстановки.

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (т. е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся (в случае «удачной» подстановки). Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru . Сделаем подстановку Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru – функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой

Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru (23.1)

Формула (23.1) также называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле. После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от повой переменной интегрирования t назад к переменной х.
Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru ,тогда Первообразная и неопределённый интеграл - student2.ru .Другими словами, формулу (23.1) можно применять справа налево.

Наши рекомендации