Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры.

Вычисление площадей. Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru

а) Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru и непрерывна, тогда площадь криволинейной трапеции Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru

б) x=a, x=b и y=f(x), y=g(x); Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru на [a,b]

Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru

Замечание : Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru

в) Пусть кривая задана параметрическим уравнением.

Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru

В данном случае мы не знаем явного задания кривой, поэтому при вычислении площади делаем замену, что бы свести к известным формулам.

Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru

x(t)-убывает

Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru

Пример(Вычислить площадь фигуры)

Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru

Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru

Вычисление площади в полярной системе координат.

Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru Если линия, ограничивающая фигуру, задана в полярной системе координат, то в качестве основной фигуры принимает криволинейный сектор, то есть фигуру ограниченную Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru и графиком Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru

Разобьем Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru (а вместе с ним и весь сектор)на частичные сектора Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru

Каждый частичный сектор заменим круговым сектором. То есть будем считать, что на каждом из частичных промежутков Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru функция Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru изменится мало и приблизительно равна Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru

Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru

Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru

Приложения определенного интеграла: вычисление объемов

Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru

а) Вычисление объема тела по площадям поперечного сечения.

Рассмотрим тело(V), заключенное между плоскостями x=a, x=b.

Разобьем промежуток [a,b] на частичные промежутки, то есть тело разобьется на слои, параллельные плоскостям x=a, x=b.

Возьмем произвольную Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru и через Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru , обозначим площадь сечения тела V плоскостью Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru . Сделаем следующие предположения:

1) При проецировании любых двух сечений друг на друга вдоль оси x, хотя бы одно из них проецируется на другое (внутрь другого).

2) Все сечения имеют в качестве площади непрерывную функцию f(x). Тогда объем слоя соответствует выделенному сечению, будет равен Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru . Где Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru - толщина слоя. Что бы получить объем всего тела, суммируем по слоям и перейдем к пределам.

Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru

б) Пусть Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru на [a,b], непрерывна на замкнутой прямой. Вращением кривой y=f(x) получим, некоторое тело.

Полученное тело вращения будет подходить по рассматриваемый в a) случай. Т.к. сечение этого тела проецируется на перпендикулярную плоскость в виде кругов. Разбиваем [a,b] на частичные промежутки в каждом из которых, выбираем точку Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru . Сечения этого тела плоскостями Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru будут представлять собой круги радиуса Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru . Поэтому Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru суммируются по всем частям промежутка и переходя к пределу получаем, что Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru

Приложения определенного интеграла: вычисление длины дуги

а) Пусть y=f(x)-непрерывная функция имеющая непрерывную производную и заданная на [a,b] .

Определение : Длиной дуги кривой назовем предел, к которому стремится вписанной к нему ломаной при неограниченном увеличении числа ее сторон и при стремлении наибольшей из ее сторон к 0.

Разобьем [a,b] на n-частей, где Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru

Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru

Проведем через две последующие точки деления дуги хорды. Построим ломаную.

Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru

Длина ломаной Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru Или, вынося Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru за знак корня Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru

С учетом формулы конечного приращения Лагранжа, согласно которой имеем Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru , Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru .

Формулу длины выражает интеграл суммы Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru . Поэтому вся длина дуги вычисляется Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru

Дифференциальные уравнения. Основные понятия

Основные понятия определения.Дифференциальное уравнение называется соотношение вида Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru связывающее независимую переменную х, ее ф-цию у, а также производные этойфункции до н-го порядка включительно. если в уравнении 1 входит однанезависимая переменная, то такое диф. ур. называется обыкновенным, если вуравнение 1 входит несколько независимых переменных, то такое диф. ур.называется уравнение в частных производных. Порядком дифференциальногоуравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.Решением уравнения 1 называется н-раз дифференцированная функция y=f(x),которая при подстановке в уравнение 1 обращает его в тождество. В простейшемслучае определение функции y=f(x) сводится к вычислению интеграла, а поэтомупроцесс нахождения решения диф. уравн. называется его интегрированием, аграфик ф-ции y=f(x) называется интегральной кривой диф. уравн. Т.к. приинтегрировании функции получается множество решений, отличающихся друг отдруга постоянным коэффициентом, то любое диф. уравн. также будет иметьмножество решений, графически определяемых семейством интегральных кривых.Общим решением (общим интегралом) диф. уравн. н-го порядка называется егорешение явно (неявно) выраженное относительно ф-ции у и содержащей н-независимых производных постоянных. Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru Независимость констант СI означает, что ни одна из них не может бытьвыражена через остальные, а следовательно число этих констант не может бытьуменьшено на единицу.Частным решением интеграла диф. уравн. н-го понрядка называется такое егорешение, в котором произвольным константам Сi присвоены конкретныезначения. это конкретные значения находятся из решения системы так называемыхначальных условий Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. - student2.ru В этой системе правые части равенства представляют собой некоторые константы. 9.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Наши рекомендации