Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла

Полагая в формуле Грина Q=x, P=0, а затем Q=0, P= -y и учитывая, что (по G), где S – площадь области G, получим выражения для площади области через криволинейные интегралы по её границе: S = (по L), S = - (по L).

Пусть α и β — произвольные числа такие, что α +β=1. Умножая равенства на α и β и складывая, получим еще одну формулу для площади: S = (по L).

Формула Стокса

Если функции дифференцируемы в области и в этой области расположен некоторый замкнутый контур , то для любой незамкнутой поверхности , имеющей границу , имеет место формула Стокса:

,

где на берется та сторона, в точках которой вектор нормали направлен так, чтобы видимый с его конца обход контура совершался бы против часовой стрелки (ориентация поверхности согласована с обходом контура).

Формула Стокса позволяет свести вычисление циркуляции векторного поля по контуру к вычислению потока поля через незамкнутую поверхность , опирающуюся на контур (здесь – граница незамкнутой поверхности ). Заметим, что – любая поверхность, имеющая границей контур , поэтому возможен наиболее простой ее выбор.

Если через контур провести две поверхности и , то

.

Учитывая, что и ограничивают некоторую пространственное тело и, меняя направление нормали на поверхности на противоположное, т.е. на внешнее по отношению к , получим

,

т. е. поток вихря через замкнутую поверхность равен . Это означает, что поле вихря является соленоидальным.

44. Вихрь векторного поля его свойства.

Пусть векторное поле образовано вектором .

Возьмем в этом поле некоторую замкнутую кривую L и выберем на ней определенное направление (рис. 32).

Циркуляцией вектора вдоль кривой , называется криволинейный интеграл по замкнутому контуру от вектор - функции .

Рис. 32

Ц=

Другое обозначение Ц= ( , - скалярное произведение)

Физический смысл циркуляции: если кривая L расположена в силовом поле, то циркуляция – это работа силы поля при перемещении материальной точки вдоль контура L.

Циркуляция поля по данному контуру характеризует вращательную способность поля на данном контуре.

При этом важно заметить, что циркуляция данного поля зависит не только от формы контура, но и от его ориентации в пространстве.

Рис. 33

Пример:

Найти циркуляцию поля по контуру окружности , расположенной в плоскости Оху (рис. 33).

(знак минус указывает на то, что контур в данном поле будет вращаться в направлении, противоположном принятому за положительное.)

Если этот же контур поместить в поле этого вектора, но в плоскости параллельной плоскости Оxz, то вектор в любой точке плоскости будет иметь одно и тоже значение, циркуляция будет равна нулю.

Ротором (или вихрем) векторного поля называется вектор, определяемый формулой

В символическом виде

Направление ротора - это направление, вокруг которого циркуляция имеет наибольшее значение по сравнению с циркуляцией вокруг любого другого направления.

Связь между ротором и циркуляцией аналогична связи между градиентом и производной по направлению.