Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой).
1. Вычисление площадей плоских фигур.
Площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс , равна соответствующему определенному интегралу:
или |
Пусть криволинейная трапеция ограничена линиями , х = а, х = b, у = 0 . Для нахождения площади S этой трапеции проделаем следующее:
1.Возьмем произвольное и будем считать,что S = S(x).
2.Дадим аргументу х приращение .
Функция S = S(x) получит приращение , представляющее собой площадь «элементарной криволинейной трапеции». Дифференциал площади dS -главная часть приращения при , и он равен площади прямоугольника с основанием dx и высотой
3.Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b,получаем Если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси Ox, то есть , то ее площадь может быть найдена по формуле : Площадь фигуры, ограниченной кривыми и , прямыми х = а и х = b (при ) можно найти по формуле
.
2.Вычисление объема тела вращения
Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией , отрезком прямыми х = а и х = b. Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох ( ), есть круг с радиусом . Следовательно, S(x) = . Применяя формулу объема тела по площади параллельных сечений, получаем:
Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции и прямыми х=0, у=с, у = d (с < d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу), равен:
3. Определение длины дуги
Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой у = f(х), где .
Под длинойдуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина ее наибольшего звена стремиться к нулю. Покажем, что если функция у=f(х) и ее производная у' = f'(x) непрерывны на отрезке [а;b], то кривая АВ имеет длину, равную
Применим схему I (метод сумм).1. Точками разобьем отрезок [а;b]на п частей. Пусть этим точкам соответствуют точки на кривой АВ. Проведем хорды , длины которых обозначим соответственно через . Получим ломаную , длина которой равна
Несобственные интегралы
несобственные интегралы, т. е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.
Пусть функция непрерывна на промежутке . Если существует конечный предел ,то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают .
Таким образом, по определению
В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится.
Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке :
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой
где с — произвольное число.
В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функция на промежутке и интеграл сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.
Интеграл с бесконечными пределами
Теорема 1. (признак сравнения). Если на промежутке непрерывные функции и удовлетворяют условию , то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .
Теорема 2. Если существует предел
и ,
то интегралы
и
одновременно оба сходятся или оба расходятся (т. е. ведут себя одинаково в смысле сходимости).