Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой).

1. Вычисление площадей плоских фигур.

Площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru , равна соответствующему определенному интегралу:

Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru или Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru  

Пусть криволинейная трапеция ограничена линиями Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru , х = а, х = b, у = 0 . Для нахождения площади S этой трапеции проделаем следующее:

1.Возьмем произвольное Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru и будем считать,что S = S(x).

2.Дадим аргументу х приращение Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru .

Функция S = S(x) получит приращение Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru , представляющее собой площадь «элементарной криволинейной трапеции». Дифференциал площади dS -главная часть приращения Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru при Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru , и он равен площади прямоугольника с основанием dx и высотой Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru

3.Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b,получаем Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru Если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси Ox, то есть Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru , то ее площадь может быть найдена по формуле : Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru Площадь фигуры, ограниченной кривыми Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru и Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru , прямыми х = а и х = b (при Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru ) можно найти по формуле

Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru .

2.Вычисление объема тела вращения

Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru  

Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru , отрезком Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru прямыми х = а и х = b. Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох ( Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru ), есть круг с радиусом Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru . Следовательно, S(x) = Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru . Применяя формулу объема тела по площади параллельных сечений, получаем: Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции и прямыми х=0, у=с, у = d (с < d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу), равен:

3. Определение длины дуги

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой у = f(х), где Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru .

Под длинойдуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина ее наибольшего звена стремиться к нулю. Покажем, что если функция у=f(х) и ее производная у' = f'(x) непрерывны на отрезке [а;b], то кривая АВ имеет длину, равную Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru

Применим схему I (метод сумм).1. Точками Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru разобьем отрезок [а;b]на п частей. Пусть этим точкам соответствуют точки Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru на кривой АВ. Проведем хорды Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru , длины которых обозначим соответственно через Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru . Получим ломаную Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru , длина которой равна Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru

Несобственные интегралы

несобственные интегралы, т. е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.

Пусть функция Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru непрерывна на промежутке Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru . Если существует конечный предел Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru ,то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru .

Таким образом, по определению

Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru В этом случае говорят, что несобственный интеграл Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru сходится.

Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru :

Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой

Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru

где с — произвольное число.

В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функция Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru на промежутке Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru и интеграл Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

Интеграл с бесконечными пределами

Теорема 1. (признак сравнения). Если на промежутке Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru непрерывные функции Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru и Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru удовлетворяют условию Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru , то из сходимости интеграла Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru следует сходимость интеграла Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru , а из расходимости интеграла Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru следует расходимость интеграла Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru .

Теорема 2. Если существует предел

Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru и Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru ,

то интегралы

Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru и Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой). - student2.ru

одновременно оба сходятся или оба расходятся (т. е. ведут себя одинаково в смысле сходимости).

Наши рекомендации