Материал к зачёту по математике

Материал к зачёту по математике

Студентки 1 курса 117 группы

педиатрического факультета

Аристовой Ольги Николаевны

Билет 1. Случайное событие. Определение вероятности (статистическое и классическое). Понятие о совместных и несовместных событиях, зависимых и независимых событиях.

Случайное событие – событие, которое в данных условиях может произойти, а может не произойти

Статистическое определение вероятности – это предел, к которому стремится относительная частота появления данного события при неограниченном возрастании числа испытаний.

Классическое определение вероятности – это отношение числа ожидаемых событий к полному числу возможных в данном опыте событий.

Совместимые события – это события, появление одного из которых не исключает появление другого.

Несовместимые события - это события, появление одного из которых исключает появление другого.

Зависимое событие – это событие, на вероятность которого оказывает влияние исход другого события.

Независимое событие – это событие, на вероятность которого не влияет исход другого события.

Билет 2. Теоремы сложения вероятностей для несовместных и совместных событий.

Теорема сложения вероятностей для несовместных событий:

Вероятность появления какого-либо события из нескольких несовместных равна сумме их вероятностей.

Теорема сложения вероятностей для совместных событий:

Вероятность появления хотя бы одного из нескольких совместных событий равна сомме их вероятностей без вероятности их совместного появления.

Билет 3. Теоремы умножения вероятностей для независимых и зависимых событий. Условные вероятности.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий:

Вероятность совместного появления независимых событий равна произведению их вероятностей.

Теорема умножения вероятностей для зависимых событий:

Вероятность появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже наступили.

Условная вероятность – вероятность некоторого события при условии того, что другое событие произошло, либо не произошло.

Например, событие А произойдет при условии реализации события В. В таком случае используют обозначение Р(А/В).

Билет 5. Распределение дискретных случайных величин, их характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение (формулы, пояснения).

Случайная величина – это величина, значение которой может быть различным в зависимости от случайных обстоятельств.

Если случайная величина принимает конечное счетное значение х1, х2,..., которым сопоставляется n значений вероятностей:Р(х1), Р(х2) и т.д., то распределение называется дискретным, а случайную величину – дискретной.

Билет 6. Непрерывные и дискретные случайные величины. Закон распределения Бернулли. Формулы для математического ожидания и дисперсии. Примеры.

Случайная величина – это величина, значение которой может быть различным в зависимости от случайных обстоятельств.

Случайная величина называется дискретной, если она принимает счетное множество значений(число букв на произвольной странице книги, энергия электрона в атоме, число волос на голове человека).

Непрерывная случайная величина принимает любые значения внутри некоторого интервала(температура воздуха за определенный промежуток времени, масса зерен в колосьях пшеницы).

Билет 7. Непрерывные и дискретные случайные величины. Закон распределения Пуассона. Формулы для математического ожидания и дисперсии. Примеры.

Непрерывные величины принимают бесконечное число возможных значений в конечном, или в бесконечном интервалах изменения. Например, время, масса, объем.

Дискретные величины могут принимать конечное, счетное число случайных значений. Например, год рождения, число людей в автобусе, число страниц в книге.

Распределение Пуассонаприменяется, когда вероятность появления события очень мала и исчисляется сотыми или тысячными долями единицы.

Где m-число ожидаемых событий, P_n(m)-вероятность появления m искомых событий в серии из n независимых испытаний, а-наивероятнейшая частота появления ожидаемого события, е-основание натурального логарифма.

Билет 8. Непрерывные и дискретные случайные величины. Плотность вероятности. Нормальный закон распределения. Математическое ожидание и дисперсия. Графическое представление. Примеры.

Непрерывные величины принимают бесконечное число возможных значений в конечном, или в бесконечном интервалах изменения. Например, время, масса, объем.

Дискретные величины могут принимать конечное, счетное число случайных значений. Например, год рождения, число людей в автобусе, число страниц в книге.

Плотность вероятности: для непрерывных случайных величина вероятность p(x) всегда равна нулю, поскольку количество возможных численных значений величины х в любом конечном интервале её изменения бесконечно велико. В связи с этим, для непрерывных случайных величин введена дополнительная характеристика – плотность вероятность. (x) (ро). Она определяется как производная вероятность по величине х:

Тогда, используя представление об определённом интеграле, можно выразить вероятность попадания случайной величины в некоторый интервал a<x<b, как

Нормальный закон распределения характеризуется тем, что для него среднее арифметическое значение случайной величины является наиболее вероятным.

формула нормального распределения Гаусса

где М- математическое ожидание случайной величины, D - дисперсия;, х – значение величины

График нормального распределения

Точечная оценка.

Из генеральной совокупности производятся разные выборки одинакового объёма, равнымn. Их выборочные средние x₁, x₂, x₃, ..., x_i, ... являются случайными величинами, распределёнными по нормальному закону, их математическое ожидание равно математическому ожиданию генеральной совокупности, т.е. генеральной средней:

При достаточно большой выборке за генеральную среднюю приближённо принимают выборочную среднюю, математическое ожидание дисперсий и среднее квадратическое отклонение различных выборок, составленных из генеральной совокупности, при больших объёмах выборок приближённо равно генеральной дисперсии и генеральному среднему квадратическому отклонению соответственно.

Интервальная оценка

Интервальной оценкой генеральной средней пользуются при небольшом объёме выборки.

В этом случае указывается интервал (доверительный интервал), в котором с определённой (доверительной) вероятностью p находится генеральная средняя. Доверительная вероятность определяет вероятность, с которой генеральная средняя попадает в интервал:

Где положительное число e (эпсилон) характеризует точность оценки.

Наиболее часто p принимает интервалы 0,95; 0,99; 0,999. Чем больше p, тем шире интервал, тем больше e.

Для выборок небольшого объёма в выражении доверительного интервала точность оценки определяется по формуле:

– коэффициент Стьюдента, – среднее квадратическое выборки

Соответственно, подставив данное выражение в неравенство

получаем общий вид интервала для генеральной средней в доверительной вероятности

Билет 12. Графические характеристики случайных величин. Гистограмма. Характеристики положения (мода, медиана, выборочная средняя). Примеры.

Полигон частот – ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами (x₁; n₁), (x₂;n₂).

Гистограмма частот – совокупность смежных прямоугольников, построенных на одной прямой линии, основания прямоугольников одинаковы и равны a, а высоту равны отношению частоты к a.

Наиболее распространёнными характеристиками статистического распределения являются средние величины: мода, медиана и выборочная средняя.

Медиа́на— равна варианте, которая расположена в середине статистического распределения, делит статистический ряд на два равные части.

Мода – равна варианте, которой соответствует наибольшая частота.

Выборочная средняя – определяется как среднее арифметическое значение вариант статистического ряда.

Билет 13. Прямые и косвенные измерения. Погрешности измерений. Абсолютная и относительная погрешности измерений. Систематическая, приборная, грубая, случайная погрешности. Примеры.

При прямом измерении числовые значения искомой величины получаются непосредственным сравнением её с мерой (пример – измерение температуры тела медицинским термометром)

Косвенные измерения – это измерения, которые сводятся к нахождению искомой величины по известной зависимости между нею и непосредственно измеренными величинами (например, определение массы тела при взвешивании с учетом выталкивающей силы, определение вязкости жидкости по скорости падения в ней шарика)

Погрешность измерений - этоколичественная характеристика качества измерений.

x_i = x_i – X₀

Абсолютная погрешность измерения( x) – это разность между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины.

Качество измерений характеризуется относительной погрешностью, которая показывает процентную долю погрешности от истинного значения измеряемой величины

* 100%

В величины погрешностей измерений дают вклад несколько различных источников. Им соответствуют, так называемые, грубые, систематические, инструментальные (приборные) и случайные погрешности.

Грубые погрешности – резко изменяют результат измерения и возникают в результате промахов, допускаемых персоналом и неконтролируемых резких изменений в условиях измерений.

Систематические погрешности – имеют постоянные по величине и знаку значения, в ходе всей серии повторных измерений и возникают в результате дефектов измерительных приборов или нарушения методики измерений.

Приборные погрешности – являются характеристикой любого измерительного инструмента и не могу быть равны нулю

Случайные погрешности – являются следствием непредсказуемых статических процессов и объекте измерения, и измерительном приборе, а также случайныхизмерений в условиях проведения опыта. (например, показания электронного термометра, измеряющего температуру воздуха будут варьировать в результате конвекции, вариаций напряжения питания датчика температуры.)

Билет 14. Методы оценки приборной и случайной погрешностей. Коэффициент Стьюдента. Методы оценки косвенных измерений. Примеры.

Для оценки приборных и случайных погрешностей нужно предварительно исключить грубые и систематические погрешности. Случайные погрешности подчиняются нормальному распределению. Искомый результат оказывается в доверительном интервале

X₀ = x + S - когда a = 68% (a – доверительный интервал)

X₀ = x + 2S – когда a = 95%

X₀ = x + 3S – когда а = 99,7%

При малом объёме выборки (5,4,3 измерения) доверительные интервалы для результатов измерений определяют по формуле:

X₀ = x + t_aⁿS_x , где t_aⁿ – коэффициент Стьюдента для различных a – доверительных вероятностей, n – числа повторных измерений. S_x - среднее квадратическое среднего арифметического выборки.

Если учесть вклад инструментальной (приборной) погрешности, то общая погрешность будет равна квадратному корню из суммы квадратов случайной и приборной погрешностей.

(брать из методичкиМонича и Малиновской, с. 115 внизу)

Методы оценки косвенных измерений:

Погрешность косвенных измерений определяется как корень из суммы квадратов частных производных по прямо измеряемым величинам, помноженных на погрешности измеряемых величин.

(брать с. 117 методичкаМонича и Малиновской)

Пример – в ходе одной из лабораторных работ были определены погрешности косвенных измерений импеданса живой ткани на разных частотах.

Материал к зачёту по математике

Студентки 1 курса 117 группы

педиатрического факультета

Аристовой Ольги Николаевны