Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и действий над числами.
Натуральное число как общее свойство класса конечных равномощных множеств. Теоретико-множественный смысл числа «нуль». Смысл отношений «равно» и «меньше». Теоретико-множественный смысл арифметических действий над числами, законов сложения и умножения, правил вычитания числа из суммы и суммы из числа, деление суммы на число.
Натуральное число как мера величины.
Понятие скалярной величины и действий над величинами. Измерение величин. Смысл натурального числа как меры величины. Смысл арифметических действий над натуральными числами, полученными в результате измерения величин. Стандартные единицы длины, массы, времени; отношения между ними; история их возникновения.
Запись чисел и алгоритмы действий над многозначными числами.
Из истории возникновения и развития способов записи целых неотрицательных чисел. Понятие системы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления.
Запись и названия чисел в десятичной системе счисления. Алгоритмы арифметических действий над многозначными числами в этой системе.
Позиционные системы счисления, отличные от десятичной: запись чисел, арифметические действия, переход от записи чисел в одной системе к записи в другой.
Делимость целых неотрицательных чисел.
Понятие отношения делимости, его свойства. Делимость суммы, разности, произведения целых неотрицательных
Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9 в десятичной системе счисления.
О расширении множества целых неотрицательных чисел.
Задача расширения понятия числа и пути её решения в математике.
Понятие дроби и положительного рационального числа. Определение арифметических действий над положительными рациональными числами. Законы сложения и умножения. Свойства множества положительных рациональных чисел.
Понятие иррационального числа. Множество положительных действительных чисел, его основные свойства.
Основные требования к знаниям и умениям.
В процессе изучения раздела необходимо овладеть следующими умениями и навыками:
- обосновывать алгоритмы действий над многозначными числами в десятичной системе счисления;
- рационально выполнять и обосновывать устные и письменные вычисления с целыми неотрицательными числами в десятичной системе счисления;
- записывать числа в различных позиционных системах счисления и производить над ними арифметические действия;
- сокращать дроби и приводить дроби к общему знаменателю;
- производить арифметические действия над обыкновенными и десятичными дробями;
- представлять обыкновенную дробь в виде десятичной и десятичную периодическую дробь в виде обыкновенной.
- Элементы геометрии и величины.
Из истории возникновения и развития геометрии.
Зарождение геометрии. «Начала» Евклида. Вклад Н.И. Лобачевского в развитие математики. Об аксиоматике евклидовой
геометрии. Использование аксиоматики в школьном курсе геометрии.
Геометрические фигуры на плоскости.
Понятие геометрической фигуры. Выпуклые и невыпуклые фигуры.
Основные свойства отрезка, угла, треугольника, четырёхугольника, параллелограмма, ромба, прямоугольника, квадрата, трапеции, окружности, круга.
Виды геометрических задач. Особенности решения задач на построение. Основные задачи на построение, решаемые с помощью циркуля и линейки.
4.3.Геометрические фигуры в пространстве.
Призма, прямоугольный параллелепипед, пирамида, цилиндр. конус, шар, их определения и изображение на плоскости.
Геометрические величины.
Длина отрезка и её измерение. Величина угла и её измерение.
Понятие площади плоской фигуры. Площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника.
Понятие площади криволинейной фигуры. Простейшие приборы для измерения площадей.
Основные требования к знаниям и умениям.
В процессе изучения раздела необходимо овладеть следующими умениями и навыками:
- решать элементарные задачи на построение с помощью циркуля и линейки;
- изображать на плоскости прямую призму, прямоугольный параллелепипед, цилиндр, конус, шар, используя правила параллельного проектирования;
- вычислять числовые значения геометрических величин (длин отрезков, величин углов, площадей фигур), используя свойства геометрических фигур и формулы.
Экзаменационные вопросы по теоретическим основам
Начального курса математики
1.Особенности математических понятий. Объём и содержание понятия. Структура определения понятия через род и видовое отличие.
2.Понятие высказывания и высказывательной формы. Смысл слов «и», «или», в составных высказываниях. Высказывания с кванторами. Правила построения отрицания высказываний различной структуры.
3.Понятие умозаключения. Неполная индукция и аналогия. Простейшие схемы дедуктивных умозаключений. Использование кругов Эйлера для проверки правильности умозаключений.
4.Структура текстовой задачи, этапы её решения и приёмы и осуществления.
Методы решения текстовых задач.
5. Определение отношений «больше на» и «меньше на» на множестве натуральных чисел, их теоретико-множественный смысл и способы моделирования.
6.Определение отношений «больше в» и «меньше в» для натуральных чисел, их теоретико-множественный смысл и способы моделирования.
7.Понятие разбиения множества на попарно непересекающиеся подмножества (классы). Отношения эквивалентности и их связь с разбиением множества на классы.
8.Определение числовой функции. Способы задания функций. Прямая и обратная пропорциональности, их свойства и графики.
9.Понятие числового выражения и выражения с переменной. Тождественные преобразования выражений. Числовые равенства и неравенства, их основные свойства.
10.Понятие уравнения с одной переменной. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений.
11.Понятие отрезка натурального ряда чисел и счёта элементов конечного множества. Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля. Натуральное число как мера величины.
12.Свойства отношения «меньше» для натуральных чисел. Теоретико-множественный смысл отношения «меньше» и его свойства.
13.Теоретико-множественный смысл суммы натуральных чисел. Смысл суммы натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.
14.Теоретико-множественный смысл разности натуральных чисел. Смысл разности натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.
15.Определение умножения через сложение, его теоретико-множественный смысл. Смысл произведения натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.
16.Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел. Смысл частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.
17.Множество целых неотрицательных чисел. Определение действий с нулём. Невозможность деления на нуль (с обоснованием). Теоретико-множественный смысл нуля.
18.Законы сложения натуральных чисел, их назначение. Теоретико-множественный смысл этих законов.
19.Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, их теоретико-множественная интерпретация.
20.Правила деления суммы на число и произведения на число, их теоретико-множественная интерпретация.
21.Определение деления с остатком на множестве целых неотрицательных чисел, его теоретико-множественный смысл.
22.Законы умножения натуральных чисел, их назначение и теоретико-множественная трактовка.
23.Позиционные и непозиционные системы счисления. Особенности десятичной системы счисления. Сравнение чисел, записанных в этой системе счисления.
24.Алгоритм сложения многозначных чисел; теоретические факты, лежащие в его основе.
25.Алгоритм вычитания многозначных чисел; теоретические факты, лежащие в его основе.
26.Алгоритм умножения многозначных чисел; теоретические факты, лежащие в его основе.
27.Алгоритм деления многозначных чисел; теоретические факты, лежащие в его основе.
28. Понятие положительной скалярной величины и её измерение. Действия с величинами одного рода. Взаимосвязь этих действий с действиями над числами.
29.Понятие длины отрезка и её измерения. Действия над длинами. Стандартные единицы длины.
30. Понятие площади фигуры и её измерения. Равновеликие фигуры. Измерение площади при помощи палетки. Теорема о площади прямоугольника.
31. Понятие дроби и положительного рационального числа. Определение арифметических действий над положительными рациональными числами. Свойства сложения и умножения.
Дисциплина методика преподавания начального курса математики
Введение
Студент должен
иметь представление:
- о месте и роли учебной дисциплины, ее связи с другими дисциплинами;
Знать:
- цели и задачи учебной дисциплины.
Место и роль учебной дисциплины «Методика преподавания начального курса математики» в системе профессиональной подготовки учителя начальных классов.
Цели, задачи и структура учебной дисциплины.
Связь методики преподавания начального курса математики с другими науками: психологией, математикой и педагогикой.