Экзамен. Теоретические основы начального курса математики с методикой преподавания.
Дисциплина Теоретические основы начального курса математики
1. Элементы логики.
Множества и операции над ними.
Понятие множества и элемента множества. Способы задания множеств. Подмножество. Равные множества. Изображение отношений между множествами при помощи кругов Эйлера.
Операции над множествами: пересечение, объединение, вычитание. Коммутативные и ассоциативные законы пересечения и объединения множеств.
Понятие разбиения множества на попарно непересекающиеся подмножества (классы). Разбиение множества на классы при помощи одного или нескольких свойств.
Декартово умножение множеств. Изображение декартова произведения двух числовых множеств на координатной плоскости.
Математические понятия.
Особенности математических понятий. Объём и содержание понятия. Отношения рода и вида между понятиями. Классификация понятий.
Математические предложения.
Высказывания и высказывательные формы. Смысл слов «и», «или», «не» в составных высказываниях. Правила нахождения множеств истинности составных высказывательных форм.
Структура высказываний, содержащих кванторы; способы установления значения истинности высказываний.
Правила построения отрицания высказываний различной структуры.
Отношение логического следования и равносильности между высказывательными формами. Необходимые и достаточные условия. Структура теоремы. Виды теорем, связанных с данной.
Определение математического понятия, виды определений. Структура определения через род и видовое отличие. Основные требования к таким определениям. Использование определении при решении задач на распознавание. Остенсивные и контекстуальные определения.
1.4 Математические доказательства.
Понятие умозаключения. Простейшие схемы дедуктивных умозаключений.
Неполная индукция и аналогия.
Сущность математического доказательства. Способы доказательства, используемые в математике.
Задача и процесс её решения.
Составные чисти задачи. Основные этапы решения задачи (анализ, поиск плана, его выполнение, проверка) и приёмы выполнения этих этапов. Моделирование в процессе решения задачи.
Методы и способы решения текстовых (сюжетных) задач.
Основные требования к знаниям и умениям.
В процессе изучения раздела необходимо овладеть следующими умениями и навыками:
- устанавливать отношения между множествами и изображать их с помощью кругов Эйлера;
- выполнять операции над множествами;
- производить разбиение множества на классы с помощью свойств и отношений; оценивать правильность выполнения классификации;
- устанавливать родовидовые отношения между понятиями;
- анализировать логическую структуру понятия;
- анализировать логическую структуру высказываний (высказывательных форм) и находить значение истинности составных высказываний (в том числе высказываний с кванторами);
- строить отрицание высказываний различной структуры (конъюнкции, дизъюнкции, с кванторами);
- строить дедуктивные умозаключения, используя правила заключения, отрицания, силлогизма;
строить умозаключения методом неполной индукции
- решать текстовые (сюжетные) задачи различными алгебраическими способами, обосновывать предложенное решение;
- решать текстовые задачи различными арифметическими способами, обосновывать выбор действия, используя соответствующую математическую теорию.
Элементы алгебры
Соответствия.
Понятие соответствия между элементами двух множеств. Способы задания соответствий. Соответствие, обратное данному. Взаимно однозначные соответствия. Равномощные множества.
Числовые функции.
Определение числовой функции. Способы задания функций. Возрастание и убывание функций. Прямая и обратная пропорциональности, их свойства и графики. Использование свойств прямой и обратной пропорциональности при решении текстовых задач различными способами.
2.3. Отношения на множестве.
Понятие бинарного отношения. Способы задания бинарных отношений, их свойства: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность. Отношение эквивалентности и его связь с разбиением множества на классы. Отношение порядка.
2.4. Некоторые понятия числовой алгебры.
Числовое выражение, его значение. Числовые равенства и неравенства. Основные свойства истинных числовых равенств и неравенств.
Выражение с переменной (переменными). Область определения выражения. Тождественные преобразования выражений.
Понятие уравнения с одной переменной и его решение. Теоремы о равносильности уравнений.
Понятие неравенства с одной переменной и его решение. Теоремы о равносильности неравенств.
Основные требования к знаниям и умениям.
В процессе изучения раздела необходимо овладеть следующими умениями и навыками:
- устанавливать вид соответствия между множествами (взаимно однозначное, функциональное);
- определять свойства знакомых бинарных отношений на множестве и их вид (отношение эквивалентности, отношение порядка);
- решать уравнения и неравенства с одной переменной, обосновывать предложенное решение.
- Целые неотрицательные числа.