Классические критерии принятия решений в играх с природой.

Классические критерии:

1. Минимаксный критерий

- оценочная функция

Надо дополнить платежную матрицу столбцом из наименьших результатов по строке и выбрать те варианты решений, которые содержат max-ное значение в этом результирующем столбце.

2. Критерий Байеса – Лапласа

В отличие от предыдущего, учитывается не единичный результат для любого варианта, а все возможные следствия. При этом требуется дополнительная информация, связанная с распределением вероятностей реализации внешних состояний.

т.е. в результирующий дополнительный столбец записывается не min по строке, а мат.ожидание.

3. Критерий Сэвиджа.

Величину а_ij можно понимать как max-ный дополнительный выигрыш, который достигается если в состоянии F_j вместо варианта e_ij выбрать другой, оптимальный для этого состояния. Или как потери (штраф), возникающий в состоянии F_j при замене оптимального для него варианта на вариант хуже. В исходной матрице критерий Сэвиджа связан с риском. А сточки зрения элементов матрицы a_ij он от риска свободен.

4. Расширенный минимаксный критерий

,

где p – вероятностный вектор для E_i , а q – вероятностный вектор для F_j.

Расширенный ММ-критерий задается целью найти наивыгоднейшее распределение вероятностей на множестве вариантов E_i , когда в многократно воспроизводящейся ситуации ничего не известно о вероятностях состояний F_j. Поэтому предполагается, что F_j распределены наименее выгодным образом.

Производные критерии принятия решений в играх с природой

1. Критерий Гурвица.

Оценочная функция этого критерия находится между точками зрения предельного оптимизма и крайнего пессимизма.

где с – весовой множитель.

2. Критерий Ходжа-Лемана

,

где p – вероятностный вектор для E_i , q – вероятностный вектор для F_j, -параметр, с помощью которого выражается степень доверия к используемому распределению вероятностей.

3. Составной BL(MM) критерий.

I1:

I2:

i ≤ I1∩I2.

I1 – множество проигрышей – номера тех вариантов, у которых min-ое значение в строке отличается от опорного решения, в качестве которого выступает величина, полученная по минимаксному критерию, не больше чем допустимое. Величина проигрыша задается заранее и если ее значение не задано, то берем половину от опорного значения.

I2 – множество выигрышей – номера вариантов решений, у которых разность между max-ным вариантом в строке решений и max-ным элементом в строке опорного варианта больше чем величина проигрыша.

4. Критерий Гермейера

Данный критерий с самого начала ориентирован на величины потерь, т.е. на отрицательные значения e_ij.

5. Критерий произведений

С самого начала этот критерий ориентирован на величины выигрышей, т.е. на положительные значения e_ij.

Шкала. Определение. Виды.

Рассмотрим эмпирическое множество А_Э = {а₁, а₂, …, а_n}, в качестве объектов которого могут выступать варианты решения или альтернативы. На этом множестве альтернатив задано некоторое бинарное отношение Р_Э. Такая пара образует эмпирическую систему с отношением U_Э=<А_Э, Р_Э>. Каждому объекту множества А_Э можно сопоставить некоторое число. Множество всех числовых оценок: А_Ч = {f(a₁), f(a₂), …, f(a_n)}. На множестве чисел задано бинарное отношение Р_Ч. А_Ч с Р_Ч образуют числовую систему U_Ч = <А_Ч, Р_Ч>.

Соответствие между U_Э и U_Ч устанавливается с помощью гомоморфного (односторонне однозначного) отношения f, такого, что (f(a_i), f(a_j)) P_Ч, (а_i, a_j) P_Э.

Шкала - < U_Э, f, U_Ч >.

Виды шкал:

1. Номинальная. Числа в ней являются обозначениями или именами классов объектов. Пр.: ответ на закрытый вопрос анкеты, ответы на которые перечислены заранее.

2. Ранговая, или порядковая. Применяется для разбиения объектов на классы эквивалентности и для упорядочения этих классов по интенсивности рассматриваемого признака. Пр.: шкала твердости минералов Мооса.

В номинальной шкале измеряется квалификации спортсменов, а в ранговой места, которые они занимают.