Дифференциальные уравнения поступательного, вращательного и плоско – параллельного движения тела

Для описания поступательного движения тела применим теорему о движении центра масс механической системы: центр масс движется так же, как двигалась бы материальная точка, обладающая массой механической системы при действии на нее главного вектора внешних сил, т.е.

; (3.а)

Записав проекции выражения (3.а) на неподвижные оси плоской декартовой координатной системы получим:

. (3.б)

Для описания вращения тела вокруг неподвижной оси необходимо записать дифференциальное уравнение первого порядка относительно угловой скорости вращения либо дифференциальное уравнением второго порядка относительно угла поворота тела:

или , (4)

где и - угловое ускорение и угловая скорость вращения, - момент инерции тела относительно оси вращения, - проекция главного момента внешних сил на ось вращения .

Для осуществления плоского движения свободного твердого тела необходимо выполнение следующих условий: масса тела должна быть распределена симметрично относительно плоскости движения, проходящей через центр масс; начальные скорости точек тела должны быть расположены в плоскостях, параллельных плоскости движения; главный вектор внешних сил должен лежать в этой плоскости, а главный момент - быть перпендикулярным к ней.

Для несвободного тела движение может быть плоским и в силу наложенных на него связей.

В задачах динамики в качестве полюса удобно выбирать центр масс тела С – в этом случае дифференциальные уравнения движения будут иметь наиболее простой вид:

.

; (5)

.

Более подробно с материалом можно познакомиться, например, в [1], [5], [7].

Если к дифференциальным уравнениям движения тел добавить уравнения кинематических связей, можно получить математическую модель для исследования движения тел механической системы. Очевидно, что полученная система уравнений должна быть замкнута (число уравнений должно совпадать с числом неизвестных); для выполнения расчета параметров движения следует учесть начальные (или краевые) условия.

ПРИМЕР 1. Для механической системы, изображенной на рис.1, и состоящей из груза 1, прикрепленного к земле пружиной, двух соосных (насаженных неподвижно на единую ось) блоков и однородного диска, составить замкнутую систему дифференциальных и алгебраических уравнений. Жесткость пружины , вес груза , вес соосных блоков , их радиусы и , а так же осевой момент инерции , вес однородного диска и его радиус , коэффициент трения качения известны.

РЕШЕНИЕ. Мысленно расчленим механическую систему на три тела (груз, соосные блоки и диск), приложив к каждому из тел соответствующие внешние силы (см.рис.1).

Запишем дифференциальное уравнение движения для первого груза: .

Полагая, что в начальном положении механической системы пружина не деформирована, выражение для силы упругости будет .

Дифференциальное уравнение вращения для соосных блоков будет: .

Поскольку центр соосных блоков неподвижен, суммы проекций действующих сил на горизонтальную и вертикальную оси будут:

; .

Теперь запишем дифференциальные уравнения движения диска в предположении : ; ; здесь .

Как уже говорилось выше, момент трения качения при смене знака скорости (при ) изменит направление.

С учетом этого замечания дифференциальное уравнение вращения вокруг центра масс диска примет вид

, где - знак скорости по координате .

Заметим, что такой особенностью обладает только это уравнение движения.

Поскольку центр масс диска движется вдоль наклонной плоскости, сумма проекций действующих сил на нормаль к этой плоскости должна равняться нулю:

.

Теперь запишем уравнения кинематических связей:

или ;

или ;

или

При их записи учтено, что скорости точек на нерастяжимой нити одинаковы, а мгновенный центр диска расположен в точке соприкосновения с наклонной плоскостью.

Рассмотренная механическая система обладает одной степенью свободы, т.е. из четырех введенных координат независимой является только одна.

Дифференцирование уравнений кинематических связей позволяет записать аналогичные соотношения для ускорений, а интегрирование – для перемещений.

В итоге получена замкнутая система из двенадцати уравнений с двенадцатью неизвестными.

Замечание: рассмотренный подход является универсальным, так как позволяет решать задачи о движении механических систем, состоящих из любого числа тел и обладающих любым числом степеней свободы.