Вариационный принцип гамильтона
Пусть задан промежуток времени , на котором исследуется движение консервативной системы. Выражение , где - функция Лагранжа, называется действием по Гамильтону. Размерность этой величины . Значение величины зависит от того, какие функции (и, следовательно, какие функции ) входят в выражение для . Действие по Гамильтону представляет собой отображение набора функций на множество действительных чисел и называется функционалом. Функционал можно считать функцией от функции, в рассматриваемом случае – функцией от функций .
Набор функций условно называется путем системы. При движении системы реализуется путь, называемый прямым (на рис. 16 он изображен жирной линией). Другие пути, образующиеся благодаря варьированию величин в каждой точке , называются окольными. Окольные пути начинаются и заканчиваются в тех же точках пространства , что и прямой путь.
Рис. 16. Прямой путь и окольные пути
Принцип Гамильтона заключается в утверждении, что прямой путь отличается от окольных путей тем, что на нем действие принимает экстремальное (стационарное) значение. Экстремальное значение функционал приобретает при условии обращения в нуль его вариации, т.е. на прямом пути .
Действительно,
При этом , т.к. в начальной и конечной точках все пути сходятся: в этих точках . В силу уравнений Лагранжа-2 получаем .
*4.3.5. Уравнения Гамильтона
Введем вместо лагранжевых переменных гамильтоновы переменные . Здесь - вектор обобщенных импульсов, определяемых формулами
(потенциальная энергия зависит от переменных и не зависит от ). Тогда каждое уравнение Лагранжа-2 можно записать так:
.
Пусть связи стационарны: ; тогда справедливо равенство , или .
Отсюда получим
или, с учетом введенных величин ,
.
С другой стороны, выражения представляют собой линейную систему уравнений относительно , определитель которой (предложение п. 4.3.3). Тогда существует единственное нетривиальное (ненулевое) решение этой системы, и величины можно выразить через и подставить в кинетическую энергию , представив ее как функцию гамильтоновых переменных
Отметим, что ). Имеем далее
.
Поскольку , получаем, что
и .
Тогда .
Функцию называют функцией Гамильтона. При стационарных связях она есть полная механическая
энергия системы, выраженная в гамильтоновых переменных.
Функцию Гамильтона можно представить также в виде:
.
Систему дифференциальных уравнений первого порядка относительно функций и
,
называют каноническими уравнениями Гамильтона движения консервативной системы.
4.3.6.* Циклические координаты
Обобщенная координата называется циклической, если она явно не входит в выражение функции Лагранжа, т. е. если . Тогда , откуда следует
,
т. е. имеем один из интегралов системы дифференциальных уравнений движения.
4.4. Малые колебания консервативной системы вблизи положения устойчивого равновесия