Раздел 3. динамика материальной точки и механической системы

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Опорный конспект лекций

Часть 2

РАЗДЕЛ 3. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Динамика материальной точки

3.1.1.Основное уравнение динамики материальной точки в случае, когда на точку действуют n сил, имеет вид: раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

Основное уравнение динамики несвободной точки удобно представить в следующей форме:

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru ,

где раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru - равнодействующая задаваемых сил, приложенных к точке, раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru - равнодействующая реакций связей.

Реакции связей, при необходимости, могут быть исключены из уравнений движения, или найдены с помощью специальных приемов.

3.1.2. Сила инерции. Уравнение кинетостатики материальной точки. Уравнение динамики относительного движения

Сила инерции по Даламберу: раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru - «фиктивная» сила, приложенная к материальной точке. Определенного контрагента в данном взаимодействии нет. В роли контрагента здесь выступает универсум - весь мир, окружающий данную материальную точку.

Основное уравнение динамики точки благодаря введению силы инерции преобразуется в уравнение кинетостатики:

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

Основное уравнение динамики относительного движения точки:

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru ,

где раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru - переносная и кориолисова силы инерции. Это уравнение описывает движение точки относительно неинерциальной системы отсчета, совершающей движение относительно инерциальной системы.

3.1.3. Две задачи динамики материальной точки

Первая (прямая) задача: определение неизвестных величин (например, реакций связей) по заданным кинематическим параметрам движения точки.

Вторая (обратная) задача: определение движения точки по заданным силам, связям и начальным условиям.

3.1.4.Решение обратной задачи динамики свободной материальной точки обычно включает в себя следующие этапы:

- составление системы дифференциальных уравнений движения точки и начальных условий к ним (формализация задачи: создание математической модели);

- решение задачи Коши: построение частного решения системы при заданных начальных условиях (работа с формализованной моделью);

- кинематические исследования (интерпретация формальных результатов).

Примем условие, согласно которому задаваемые силы могут зависеть от времени, положения точки и от скорости точки (но не зависят от ускорения и производных от него). Дифференциальные уравнения движения свободной точки в пространстве в декартовой системе координат могут иметь вид:

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru

Это система дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru . Решить систему означает найти такие функции раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , которые при подстановке в уравнения системы обращают их в тождества, справедливые при любом значении независимой переменной раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru из промежутка [0;T], на котором исследуется движение (правая граница может быть бесконечностью).

Процесс отыскания решения называется интегрированием системы дифференциальных уравнений. В этом процессе применяются различные приемы: понижение порядка уравнения, разделение переменных и т.д.

Совокупность функций раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , удовлетворяющих вышеприведенной системе дифференциальных уравнений, образует общий интеграл. В случае явного описания функций раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru общий интеграл обычно называют общим решением системы. Общее решение системы дифференциальных уравнений движения материальной точки могут содержать до 6 параметров – постоянных интегрирования раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru . Постоянные интегрирования определяются в результате решения системы уравнений, получающейся в результате совмещении общего решения с начальными условиями.

3.1.5. Начальные условия (НУ) при решении обратной задачи динамики точки – это условия, накладываемые на начальную скорость и начальное положение точки, записанные, например следующим образом:

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru

Число начальных условий должно соответствовать числу и порядку дифференциальных уравнений движения (условию корректности постановки задачи Коши). НУ должны быть сформулированы в терминах тех неизвестных функций, которые участвуют в записях дифференциальных уравнений.

3.1.6. Некоторые простейшие задачи динамики материальной точки, решаемые методами понижения порядка и разделения переменных.

Пусть свободная материальная точка движется по прямой раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru под действием задаваемой силы, проекция которой на ось раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru есть раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru . Обозначив раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , запишем дифференциальное уравнение движения в проекциях на ось раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru как раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

1) Рассмотрим случай, когда сила является функцией времени (или постоянна):

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

Представив раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru как раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , понижаем порядок уравнения, а затем, умножив обе части на раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , разделяем переменные:

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

2) Сила является функцией проекции скорости раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru :

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

а) Пусть требуется определить зависимость между проекцией скорости раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru и временем. Умножая обе части уравнения на величину раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , разделяем переменные:

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

Данная запись имеет смысл при условии раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru (т.е. должно быть раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru или раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru ).

б) Пусть требуется найти зависимость между величинами раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru и раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru . Делаем замену переменной раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru и получаем:

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru ( раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru ).

3) Сила является функцией положения точки. После замены переменной имеем: раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru . Решение этого уравнения называют интегралом энергии.

Пример. Некоторое тело, имея отрицательную плавучесть величиной раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , погружается в воду из состояния покоя (рис. 1, а). Сила сопротивления воды равна раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , где раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru - скорость погружения, раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru - постоянный коэффициент. Масса тела раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru . Определить скорость погружения тела. (Плавучестью называется разность между силой Архимеда раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru и силой тяжести. Если плавучесть положительна, то тело всплывает. Здесь раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .)

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru

а б в

Рис. 1. Задача о погружении тела

Объектом исследования является погружающееся тело, принимаемое за материальную точку. Глубину погружения будем считать малой в сравнении с радиусом Земли, а время погружения ограничивать не будем: раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru . Изображаем в произвольный момент времени раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru тело (рис. 1,а) и действующие на него силы. Записываем основное уравнение динамики точки в векторной форме:

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

Введем ось раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , направленную в сторону движения тела; тогда раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru . Запишем уравнение движения (2) в проекциях на ось раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru :

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

Подставив заданное выражение для силы сопротивления раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , получаем дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru :

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru

с начальным условием (НУ) раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

В начале движения раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru и выражение раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru . Пусть последнее неравенство выполняется во все время движения. Разделяем переменные; преобразуем; интегрируем:

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru ; раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru ; раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

Поскольку раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , то раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru . Из формулы для силы раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru следует, что размерность коэффициента раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru есть раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , и тогда размерность раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru . Обозначим раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru - это так называемая постоянная времени релаксации. Находим далее:

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru или раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru ;

из НУ следует, что раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , и тогда получаем

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

Выражение раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , имеющее размерность скорости и равное пределу раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru при раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru обозначим как раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru . График функции раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru имеет горизонтальную асимптоту раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru (рис. 1,б). Величина раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru есть точная верхняя граница (супремум) значений скорости. Эту предельную скорость можно было найти и из уравнения движения как величину, при которой выполняется необходимое условие раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru наличия экстремума; только здесь экстремум достигается в несобственной точке раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

Если тело попадает в воду с начальной скоростью раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , то график скорости имеет вид, приведенный на рис. 1, в. «Сверхпредельное» движение не может само собой перейти в «допредельное» и наоборот.

3.1.7. К задачеоб исследовании движения тела, брошенного под углом раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru к горизонту с начальной скоростью раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

При скорости раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru рассматривают простейшую модель задачи, удовлетворяющую условиям:

1) инерциальная система отсчета – геоцентрическая;

2) ускорение свободного падения раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru постоянно;

3) кривизна поверхности Земли не учитывается;

4) влияние воздуха на движение тела не учитывается.

Тогда, в результате интегрирования дифференциальных уравнений движения, получаем кинематические уравнения движения в системе координат раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru (ось раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru направлена вверх):

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

Дальность обстрела, определяемая выражением раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , достигает максимального значения при раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru . Пуля, выпущенная из винтовки Мосина обр.1891г. с начальной скоростью 620 м/с, имела бы при выполнении сформулированных условий максимальную дальность полета около 40 км (в действительности, из-за сопротивления воздуха, менее 4 км).

При скоростях раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru условие 4 преобразуется: вводится сила сопротивления воздуха раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , зависящая от скорости раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru тела согласно формуле

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru ,

где раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru - площадь поперечного сечения тела,

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru - плотность воздуха ( раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru при нормальных условиях),

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru - коэффициент лобового сопротивления, зависящий от формы тела и от числа Рейнольдса раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , характеризующего процесс обтекания тела воздухом.

Число Рейнольдса определяется по формуле раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru . В этой формуле раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru означает «характерный размер» тела (напр., диаметр пушечного ядра), раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru - вязкость воздуха. Для пушечного ядра раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru во время движения и, следовательно, сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости ядра.

При скоростях раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru приходится пересматривать все условия первоначальной модели. При сверхзвуковых скоростях снарядов нарезного оружия сила лобового сопротивления характеризуется волновым сопротивлением: около снаряда образуется волна сильного сжатия, которая расходится от него в виде конуса. Этот конус называется конусом Маха и имеет угол раствора раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru ( раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru - скорость звука). Коэффициент С при сверхзвуковой скорости движения раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru существенно зависит от этой скорости.

При стрельбе под большим углом возвышения раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , со скоростями раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru порядка раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru и более, значительная часть траектории снаряда пролегает на высоте свыше 20 км, где сопротивление воздуха незначительно. В 1918г. германская артиллерия из орудий «Колоссаль» обстреливала Париж с расстояния 115 км. Стрельба велась при угле раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru с начальной скоростью 2000 м/с. Наивысшая точка траектории лежала на высоте 40 км, время полета снаряда 3.5 мин (из них 2 мин в стратосфере). Калибр 210 мм, вес снаряда 120 кг, длина ствола 34 м, вес орудия 750 тонн. Заряд составлял около 200 кг пороха и развивал давление в канале ствола 5000 атм.

При расчетах учитывалась зависимость плотности воздуха и ускорения свободного падения от высоты, геофизические данные о местности, включая кривизну земной поверхности, а также метеорологические данные о скорости и направлении ветра, давлении воздуха и проч. Из 303 снарядов 120 упало за пределами Парижа.

Уже к началу 1-й Мировой войны таблицы ответственных стрельб составлялись по отношению к гелиоцентрической системе отсчета. Так, в начале боя между немецкой и английской эскадрами у Фолклендских островов в 1914 г. английские снаряды упорно ложились на 100 м левее цели. Командование забыло перевести поправку на вращение Земли, рассчитанную для раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru северной широты (в северном полушарии летящие по пологой траектории снаряды отклоняются вправо благодаря Кориолисовой силе инерции), на южную широту раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

3.1.8. Свободные гармонические незатухающие колебания материальной точки

Условием колебательного движения является наличие восстанавливающей силы, «стремящейся» вернуть материальную точку в положение равновесия, в котором величина восстанавливающей силы равна нулю. Простейшая модель колебательной системы – прямолинейное движение точечной массы под действием упругой силы, подчиняющейся закону Гука (рис. 2,а):

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru ,

где раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru - коэффициент упругости (жесткость) пружины,

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru - деформация упругого элемента (пружины): раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru ,

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru - длина пружины в рассматриваемый момент времени,

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru - длина недеформированной пружины.

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru

а б

Рис. 2. Динамическая модель гармонического осциллятора

При раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru тело массой раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru находится в положении равновесия. Взяв начало координат раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru в положении равновесия тела и направив ось раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru в сторону удлинения пружины (тогда раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru и раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru ), получаем дифференциальное уравнение движения тела - дифференциальное уравнение гармонического (линейного) осциллятора (устройства, совершающего колебательное движение)

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

Колебания, описываемые данным уравнением, происходят благодаря действию только восстанавливающей силы и называются свободными.

Величина раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru называется циклической частотой колебаний и измеряется в радианах в секунду (в отличие от частоты, измеряемой в Герцах). Циклическая частота свободных колебаний называется собственной частотой колебательного устройства (осциллятора).

Период колебаний определяется формулой раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

Общее решение дифференциального уравнения гармонического осциллятора имеет вид раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , а частное решение, удовлетворяющее начальным условиям раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , можно представить как раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , или раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

График функции раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru имеет вид синусоиды, и такие колебания называются гармоническими.

Амплитуда раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru и начальный сдвиг раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru фазы колебаний находятся из выражений раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru

Фазой называется значение аргумента раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru в данный момент времени. Функция раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru задается тремя параметрами: раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , характеризующими амплитуду, частоту и фазу колебаний. С помощью колебательного процесса передают информацию путем амплитудной, частотной или фазовой модуляции.

3.1.9. Эквивалентная жесткость системы двух упругих элементов при параллельном их соединении равна

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

Эквивалентная податливость (величина, обратная жесткости) при последовательном соединении двух упругих элементов равна

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

3.1.10. Свободные затухающие колебания материальной точки возникают при наличии (помимо восстанавливающей силы) силы сопротивления; на наличие этой силы указывают, изображая на рисунке с гармоническим осциллятором демпфирующий элемент (рис. 2,б) в виде цилиндра с поршнем (Der Dämpfer (нем.) - «успокоитель»). Сила сопротивления раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru - следящая сила, направленная всегда против вектора скорости: раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

В случае, когда величина этой силы пропорциональна скорости ( раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru ), а движение прямолинейно, проекция силы раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , и дифференциальное уравнение движения тела приобретает вид

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru ,

где обозначено раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

Характеристическое уравнение раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , рассмотренное как приведенное квадратное уравнение, имеет дискриминант раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru . Если раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , то движение тела носит апериодический характер («чистое затухание»).

Если раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru (случай малого сопротивления), то тело совершает свободные затухающие колебания. Общее решение уравнения движения может быть представлено в виде

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru ,

где раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

Амплитуды составляют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, знаменатель раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru которой называется декрементом затухания (характеристика роста называлась бы инкрементом). Величина раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru называется логарифмическим декрементом затухания.

3.1.11. Фазовый «портрет» гармонического осциллятора

Введя переменную раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , можно для гармонического осциллятора вместо одного дифференциального уравнения второго порядка записать систему двух уравнений первого порядка:

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru

Переменные раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , удовлетворяющие этой системе, называются фазовыми переменными; плоскость раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru называют фазовой плоскостью; точку с координатами раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru - изображающей точкой. Траектория изображающей точки – фазовая траектория. Множество фазовых траекторий, исходящих из разных начальных точек, представляет фазовый «портрет» процесса, описываемого данной системой дифференциальных уравнений. Движение изображающей точки по фазовой плоскости происходит против часовой стрелки.

Фазовые траектории гармонического осциллятора без сопротивления - эллипсы; начало координат О – точка равновесия - является особой точкой типа «центр» для описанной выше системы двух уравнений. Центр О является устойчивой особой точкой: изображающая точка не отклонится от центра больше, чем на расстояние, задаваемое начальным (и остающимся постоянным) значением полной энергии осциллятора.

Фазовые траектории осциллятора с сопротивлением, пропорциональным скорости, представляют собой спирали, приближающиеся асимптотически к точке О, при этом радиус-вектор изображающей точки бесконечно много раз поворачивается вокруг точки О. Точка О представляет собой асимптотически устойчивый фокус. На рис. 3 изображены фазовые траектории колебаний, происходящих по закону раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , при трех значениях параметра раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru

Рис. 3. Фазовый портрет осциллятора с демпфером

В случае большого сопротивления ( раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru ) фазовые траектории также асимптотически приближаются к точке О, но радиус-вектор изображающей точки, поворачиваясь по часовой стрелке, не совершает ни одного полного оборота.

3.1.12. Вынужденные колебаниягармонического осциллятора под действием гармонической вынуждающей силы

Пусть проекция вынуждающей силы есть раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .
Обозначив раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , запишем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний гармонического осциллятора без сопротивления:

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

Решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний, удовлетворяющее начальным условиям раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , можно записать в виде:

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru ,

где функции раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru описывают составляющие колебания осциллятора:

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru - свободные колебания,

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru - сопровождающие колебания, !!

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru - чисто вынужденные колебания,

при этом раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru . Последнее выражение имеет конечное значение при условии раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

*3.1.13. Вынужденные колебания вблизи резонанса и при резонансе

Пусть частота вынуждающей силы, возрастая, приближается к значению собственной частоты, так что раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , где раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru - малая величина. Рассмотрим вынужденные колебания раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru :

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

Известные формулы разложения тригонометрических функций в степенные ряды в окрестности нулевого значения аргумента

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru ;

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru

убеждают нас, что при малом значении раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru в квадратных скобках превалирует последнее слагаемое. Оно характеризует режим биений вблизи резонанса. На рис. 4,а представлен график функции раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru при значениях раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

Используя приведенные выше разложения и обозначая через раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru величину высшего порядка малости, чем раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , получим

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru ;

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru

а б в

Рис. 4. Биения. Вековой член функции раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru . АЧХ осциллятора

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru

где раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru означает статическую деформацию упругого элемента под действием силы, величиной раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru ; раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru - безразмерное время.

На рис. 4,б график «векового» (secular) члена раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , присутствующего в выражении раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , демонстрирует неограниченный рост амплитуд при продолжении колебаний (при отсутствии сопротивления!).

3.1.14. Коэффициент динамичности. АЧХ (амплитудно-частотная характеристика) гармонического осциллятора

Коэффициентом динамичности раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru назовем безразмерный коэффициент, выражающий отношение амплитуды раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru чисто вынужденных колебаний к некоторой характерной (нормирующей) длине, например, к статической деформации раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru :

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru ,

где раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru означает безразмерную частоту. График этой функции (рис. 4,в) изображает АЧХ гармонического осциллятора. Правая часть графика убеждает нас в том, что когда частота вынуждающей силы значительно превосходит собственную частоту осциллятора, вынужденные колебания весьма малы.

*3.1.15. Действие произвольнойпериодической силы на гармонический осциллятор

Пусть на осциллятор действует некоторая периодическая сила периода раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru . Тогда правую часть дифференциального уравнения его движения

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru

можно представить в виде ряда Фурье

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru ,

где раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru . В силу линейности дифференциального уравнения движения частное его решение представляет собой аналогичный ряд. Компоненты этого ряда, характеризующие чисто вынужденные колебания, имеют коэффициенты при функциях раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru со знаменателями вида раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru . В случае, когда раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , имеет место резонанс раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru рода.

*3.1.16. Действие произвольной вынуждающей силы на гармонический осциллятор

Пусть в дифференциальном уравнении вынужденных колебаний гармонического осциллятора раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru означает произвольную функцию времени, удовлетворяющую условиям, предъявляемым к оригиналам (см. «Преобразование Лапласа и операционное исчисление» в курсе высшей математики). Тогда частное решение этого уравнения можно представить в виде

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

Приведенный здесь интеграл называется свёрткой функций раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru и раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru :

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru . Выражение раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru есть функция влияния внешнего воздействия раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , осуществленного в момент времени раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , на положение осциллятора в последующий момент раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

Решение уравнения вынужденных колебаний можно построить операционным методом, переходя от исходных функций времени (оригиналов) к их изображениям (функциям комплексного переменного раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru ) согласно формуле

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

Изображение свертки двух функций есть произведение их изображений:

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

*3.1.17. Гармонический осциллятор как звено САУ (системы автоматического управления). Передаточная функция звена.

Построим изображения по Лапласу левой и правой частей уравнения вынужденных колебаний осциллятора (п. 3.1.15) при нулевых начальных условиях (!):

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru ,

откуда получаем формальное выражение

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

Это выражение описывает соотношение между сигналом раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , подаваемым на вход колебательного звена, и выходным сигналом раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru . Выражение

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru

называется передаточной функцией колебательного звена САУ. Блок-схема САУ изображает ее структуру; передаточные функции звеньев характеризуют преобразование этими звеньями входных сигналов в выходные. В приведенном на рис. 5 фрагменте блок-схемы звено 2 является сумматором с отрицательной обратной связью. Сигнал, подаваемый на затемненный сектор, инвертируется, т.е. подается на вход сумматора с противоположным знаком. Звено 4 является, судя по передаточной функции, колебательным звеном с сопротивлением.

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru

Рис. 5. Фрагмент блок-схемы САУ

*3.1.18. Вынужденные колебания гармонического осциллятора с сопротивлением

Пусть дифференциальное уравнение движения осциллятора имеет вид:

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

Частное решение этого уравнения, ввиду присутствия члена раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , ищем в виде раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru . Подставив это выражение в уравнение, получим, что чисто вынужденные колебания описываются формулой

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru

где раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

Коэффициент динамичности раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru ,

где, в дополнение к п. 3.1.14, обозначено раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

Исследуем возможность наличия экстремума этой функции:

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

Отсюда получаем раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru или раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru . Последнее выражение существует при условии раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru . Амплитудно-частотные характеристики представляют собой зависящее от параметра раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru семейство кривых (рис.6).

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru

Рис. 6. АЧХ осциллятора с демпфером

Кривая, соответствующая значению раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , является сепаратрисой: она разделяет квадрант на две области. Верхняя область соответствует значительной реакции осциллятора на резонансную безразмерную частоту раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

3.1.19. Примерыколебательного движения

а) Пусть в начальный момент времени заряд раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru емкости (рис. 7,а) равен раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , ключ разомкнут, и электрический ток раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru в контуре отсутствует: раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru . Ток возникает при замыкании ключа. Для составления уравнения функционирования контура воспользуемся вторым законом Кирхгофа: сумма падений напряжения в замкнутом контуре равна нулю:

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru .

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru

а б в г

Рис. 7. Устройства, демонстрирующие колебательное движение

Как известно из курса общей физики, раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru , раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru ( раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru - параметр емкости, раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru - соленоида, раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru - активного сопротивления). Из закона Кирхгофа следует уравнение

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru ,

где раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru . При малом активном сопротивлении величина заряда, ток и напряжение изменяются согласно закону затухающих колебаний.

б) Вертикальные колебания цилиндрического поплавка (рис. 7,б) длиной раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru при отсутствии сопротивления жидкости описываются уравнением

раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru ,

где раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru - смещение поплавка из положения равновесия, раздел 3. динамика материальной точки и механической системы - student2.ru - плотность его материала,