Определители второго порядка.
ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Методические указания к выполнению самостоятельной работы для студентов всех специальностей
Санкт-Петербург
УДК 519.95 (075.8)
Основы линейной алгебры: Методические указания к выполнению самостоятельной работы для студентов всех специальностей / Л.Е.Морозова, О.В.Соловьева. СПб. гос. архит.-строит. ун-т.- СПб., 2005. с.
Методические указания предназначены для самостоятельного изучения линейной алгебры студентами всех специальностей. Даны основные определения и теоремы теории матриц и определителей. Приводится методика решения систем линейных уравнений методом Гаусса.
Библиогр.: 4 назв.
Определители второго порядка.
Понятие определителя возникло в связи с проблемой отыскания формул для значений неизвестных в системе линейных уравнений.
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
Таблица из коэффициентов вида называется матрицей системы.
Решим систему методом исключения. Чтобы найти неизвестное , умножим первое уравнение на , а второе - на и сложим оба уравнения. Получим
Аналогично, умножая первое уравнение на , второе - на и складывая оба уравнения, найдем
Коэффициент при называется определителем 2-го порядка и обозначается
, где
Таким образом
Пример1.1. Вычислить определители:
a) b)
c)
Определители n-го порядка.
Очевидно, что для системы из n линейных уравнений с n неизвестными получим матрицу коэффициентов размером :
Введем понятие определителя n-го порядка.
Определение 4.1:
Определителем n-го порядка называется число равное
-сумме n! слагаемых;
-каждое слагаемое есть произведение n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца;
-каждое слагаемое берется со знаком «+», если перестановка из вторых индексов четная, и со знаком «-», если перестановка из вторых индексов нечетная, при условии, что первые индексы образуют натуральный ряд чисел.
Т.о.
Здесь å берется по всем возможным перестановкам , составленным из чисел 1,2,…,n.
5. Основные свойства определителей.
Установим основные свойства определителей, которые для простоты будем показывать на определителе 2-го порядка.
1. При замене строк соответствующими столбцами (именуемой транспонированием) определитель остается неизменным. Действительно:
Следовательно, , что и требовалось доказать.
Примечание: Полученный выше результат дает нам право утверждать, что строки и столбцы определителя, именуемые в дальнейшем рядами, равноправны.
2. При перестановке двух рядов определитель меняет знак на противоположный.
Действительно, Поменяем местами строки и вычислим определитель
,
что и требовалось доказать.
3. Если в определителе два параллельных ряда одинаковы, то он равен нулю. Действительно, поменяем местами две одинаковых строки. Тогда величина определителя не изменится, а знак в силу свойства 2. поменяется. Единственное число, которое не меняется при изменении знака – ноль.
4. Общий множитель членов любого ряда можно вынести за знак определителя.
что и требовалось доказать.
5. Если все элементы любого ряда являются суммами одинакового числа слагаемых, то определитель равен сумме определителей, в которых элементами рассматриваемого ряда служат отдельные слагаемые.
что и требовалось доказать.
6. Определитель не изменится, если к элементам любого ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на некоторое число.
Умножим вторую строку на и прибавим ее к первой строке:
Действительно, в силу свойств 3,4,5
=
что и требовалось доказать.
6. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя.
Рассмотрим определитель n-го порядка:
.
Выделим в определителе i-ю строку и j-й столбец. На пересечении этих рядов стоит элемент
Если в определителе мы вычеркнем i-юстроку и j-йстолбец, то получим определитель порядка п-1 (т. е. имеющий порядок, на единицу меньший по сравнению с исходным определителем), называемый минором элемента определителя . Будем обозначать минор элемента символом .
Определение 6.1. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется минор , взятый со знаком , и обозначается символом . Согласно определению получим
.
Пример 6.1. Найти минор и алгебраическое дополнение определителя
Содержание
1. Определители второго порядка…………………………………………………….…..……3
2. Определители третьего порядка………………………………………………………………3
3.Элементарные сведения о перестановках……………………………………………………...5
4.Определители n-го порядка…………………………………………………...……………6
5. Основные свойства определителей……………………………………………………………7
6. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя………………………...8
7. Разложение определителей по элементам его рядов……………………………….……9
8. Общие сведения о матрицах. Основные определения…………………..……………..12
9. Разновидности матриц……………………………………………………………………..13
10. Арифметические операции над матрицами……………………………..…..…………15
11. Свойства перемножения матриц…………………………………………...…………...16
12. Обратная матрица и ее вычисление с помощью союзной матрицы……….……….18
13.Cистемы линейных уравнений………………………………………………………….....…20
14.Матричная запись системы уравнений………………………………………...……..……...21
15. Системы с неособенной квадратной матрицей. Формулы Крамера………………….........22
16. Системы уравнений в базисной форме…………………..…………………….………24
17.Метод Гаусса………………………………………………………………………………….26
18.Нахождение решения в базисной форме……………………………………….…..…..32
19. Вычисление обратной матрицы по схеме Гаусса………………………….…………….….33
20.Понятие об -мерном арифметическом пространстве и -мерном векторе…………………………………………………………………………………………...…35
21. Линейное преобразование векторов. Собственные векторы и собственные значения…………………………………………………………………………………………….37
Лидия Евсеевна Морозова
Ольга Валентиновна Соловьева
ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Редактор
Корректор
Подписано к печати 00.00.2005. Формат 60x84 1/16. Бум. Офсетная. Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. . Тираж 500 экз. Заказ .»С» . Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет. 198005, Санкт-Петербург, 2-ая Красноармейская, 4. Отпечатано на ризографе. 198005, Санкт-Петербург, 2-ая Красноармейская, 5.
ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Методические указания к выполнению самостоятельной работы для студентов всех специальностей
Санкт-Петербург
УДК 519.95 (075.8)
Основы линейной алгебры: Методические указания к выполнению самостоятельной работы для студентов всех специальностей / Л.Е.Морозова, О.В.Соловьева. СПб. гос. архит.-строит. ун-т.- СПб., 2005. с.
Методические указания предназначены для самостоятельного изучения линейной алгебры студентами всех специальностей. Даны основные определения и теоремы теории матриц и определителей. Приводится методика решения систем линейных уравнений методом Гаусса.
Библиогр.: 4 назв.
Определители второго порядка.
Понятие определителя возникло в связи с проблемой отыскания формул для значений неизвестных в системе линейных уравнений.
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
Таблица из коэффициентов вида называется матрицей системы.
Решим систему методом исключения. Чтобы найти неизвестное , умножим первое уравнение на , а второе - на и сложим оба уравнения. Получим
Аналогично, умножая первое уравнение на , второе - на и складывая оба уравнения, найдем
Коэффициент при называется определителем 2-го порядка и обозначается
, где
Таким образом
Пример1.1. Вычислить определители:
a) b)
c)