III Уравнение касательной и нормали к кривой
Из курса геометрии известно, что в прямоугольной декартовой системе координат уравнение прямой с угловым коэффициентом , проходящем через точку
имеет вид
. (1)
Поэтому, подставив в уравнение (1) , получим уравнение касательной к кривой
в точке
:
. (2)
Как известно, условием перпендикулярности прямых, задаваемых уравнениями с угловыми коэффициентами и
, является условие
. Следовательно, уравнение нормали к кривой
в точке
имеет вид:
. (3)
Замечание: Уравнение (3) задает нормаль к графику функции
в точке
, если существует отличная от нуля производная
.
Если , то касательная к кривой
в такой точке будет параллельна оси
, а ее уравнение будет иметь вид:
. Из определения же нормали следует, что нормаль к кривой
в такой точке будет перпендикулярна оси
, а ее уравнение имеет вид
.
Если же , то касательная к кривой
в такой точке параллельна оси
и ее уравнение имеет вид
, а нормаль параллельна оси
и ее уравнение имеет вид
Примеры: Найти уравнения касательной и нормали к кривым:
в точке с абсциссой
в точке с абсциссой
в точке с абсциссой
Решение:
1) Найдем значение функции в точке с
:
.
Далее найдем производную этой функции: . Теперь найдем
Составим уравнение касательной, для этого подставим найденные значения в уравнение (2):
– уравнение касательной
Составим уравнение нормали, для этого подставим найденные значения в уравнение (3):
– уравнение нормали.
2) Найдем значение функции в точке с абсциссой
:
.
Найдем значение производной в точке
:
.
Так как , то по замечанию уравнение касательной примет вид
, то есть
, а уравнение нормали
, то есть
.
3) Найдем значение функции в точке с абсциссой
.
Теперь найдем значение производной:
,
.
Подставив найденные значения в уравнение (2) получим уравнение касательной:
– уравнение касательной.
Подставив найденное значение в уравнение (3) получим уравнение нормали:
– уравнение нормали.
Упражнения:
1) В какой точке касательная к кривой параллельна прямой
.
2) В какой точке касательная к кривой перпендикулярна прямой
.
3) Кривая задана уравнением . Определить углы наклона касательных к положительному направлению оси
, проведенных к кривой в точках с абсциссами
.
4) Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой в точке
.
5) Составить уравнение касательной и нормали к кривым в данных точках с абсциссами:
а)
б)
в)
г)
д) .
6) Найти координаты точки, в которой касательная к параболе образует угол в 135о с осью
.
7) Найти скорость тела, движущегося по закону .
8) Тело движется прямолинейно по закону . Найти скорость тела в моменты
,
и
.
9) Найти скорость движения тела в момент времени , если закон движения задан формулой:
.
10) Когда скорость точки, движущейся прямолинейно по закону , равна нулю?
11) Какой угол образует с осью абсцисс касательная к параболе , проведенная в точке
? Составить уравнение этой касательной.
12) Найти угол наклона касательной к кубической параболе в точках с абсциссами
,
и
.
13) Какой угол образует с осью абсцисс касательная к кривой в точке
?