Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .
Вариант 16
1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.
Для определения области необходимо решить следующую систему:
2x-y>-1
2x-y<1
x+y≠0
y<2x+1
y>2x-1
x≠y
Таким образом в данном случае область определения – это область в 1-ой четверти .
2. Показать, что заданная функция удовлетворяет данному уравнению.
Решение. Предварительно найдем частные производные первого порядка
dz/dx=(6tg^2(2x-3y))/(cos^2(2x-3y))
dz/dy=(-9tg^2(2x-3y))/ (cos^2(2x-3y))
Подставляя, полученные производные к функцию в заданное соотношением получим
3*((6tg^2(2x-3y))/(cos^2(2x-3y)))+2*((-9tg^2(2x-3y))/cos^2(2x-3y))=(18tg^2(2x-3y))/(cos^2(2x-3y))-(18tg^2(2x-3y)))/(cos^2(2x-3y))=0
3. Найти производную сложной функции. ;
Решение.Применяяформулу для вычисление полной производной получим
dz/dt=(dz/dx)*(dx/dt)+(dz/dy)*(dy/dt)=(x*e^x+e^x-e^x*y)*t-e^x
Подставляя теперь вместо и выражение через и выполняя необходимые преобразования получим
dz/dt=t*(sin t*esin t+ esin t- esin t*cos t)- esin t
4. Найти экстремум функции.
Решение.Найдем и приравняем частные производные первого порядка к нулю
Так как частные производные второго порядка являются постоянными то .
Тогда в силу достаточного условия экстркмума в точке функция имеет локальный минимум, который равен .
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в заданной замкнутой области .
Решение.Отметим,что границами данной области являются стороны прямоугольника, которые аналитически задаются следующим образом
Y C
B x
1 3
AB: y=0 -1<x<3
BC: y=x+1 0<y<4
CA : x=3 0<y<4
Найдем и приравняем частные производные первого порядка к нулю
Z(y)=2x-2y=0
Z(x)=2x+2y-4=0
Y=1
x=1
Обозначим эту точку как O(1;1) Значение функции в найденной точке будет равно z(1;1)=-2
Подставляя теперь в функцию формулу границы найдем минимальные и максимальные значения на этих границах
Y=0 (x^2-4x)’=2x-4 x=2 (2;0)
X=3 (9+6y-y^2-12)’=6-2y y=3 (3;3)
Y=x+1 (x^2+2x(x+1)-(x+1)-4x)’=(x^2+2x^2+2x-x^2-x-1-4x)’=(2x^2-3x-1)’=4x-3 x=3/4 y=7/4
Z(2;0)=4+0+0-8=-4
Z(3;3)=9+18-9-12=6
Z(3/4;7/4)=9/16+2*21/16-49/16-4*3/4=25/8
Наименьшее значение в точке (2;0), наибольшее значение (3;3)
6. Найти точки условного экстремума функции
Составим вспомогательную функцию Лагранжа:
L(X, λ) = x*y + λ*(x^2+y^2-2)
Найдем частные производные первого порядка по переменным и приравняем их к нулю
∂L/∂x = 2*λ+y = 0
∂L/∂x2 = x+2*λ = 0
∂L/∂λ = x^2+y^2-2 = 0
Запишем систему в виде расширенной матрицы:
0 1 2 0
1 0 2 0
1 1 0 2
Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
0 1 2 0
0 -1 2 -2
1 1 0 2
Добавим 2-ую строку к 1-ой:
0 0 4 -2
0 -1 2 -2
1 1 0 2
Из 1-ой строки выражаем x3
λ = -2/4 = -0.5
Из 2-ой строки выражаем x2
y = -1/-1 = 1
Из 3-ой строки выражаем x1
x = 1/1 = 1
Точка экстремума (1;3). Значение функции в точке экстремума F(1;1)=1.
Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .
Решение.Уравнениекасательной плоскости, к поверхности заданным уравнением в точке записывается в виде:
, а уравнение нормали к поверхности в этой же точке ;
Наша поверхность задана уравнением: F(x,y,z)=z^2+2xy-y^2+4z-1=0
. Найдем частные производные
(dF/dx)M0=(2y)(1,1,-4)=2
(dF/dy)M0=(2x-2y)(1,1,-4)=0.
(dF/dz)M0=(2z+4)(1,1,-4)=-4.
8. Hайти производную функции в точке в направлении:
а) градиента,
б) указанного вектора
а) Найдем частные производные первого порядка
; .
Найдем значения частной производной в точке
Тогда градиент функции найдем по формуле
.
б) Найдем направляющие косинусы:
Производную по направлению вектора найдем следующим образом:
.