Естественность операций max и min

После появления понятия о нечетком множестве вышла работа Беллмана Р. и Гирца М. [41], посвященная методологическому обоснованию определений Заде Л. Там было показано, что операции max и min, не только естественны, но, что при достаточно разумных предположениях, они и единственно возможны. В этой превосходной работе показано, что функция принадлежности, которая служит количественным выражением степени субъективного доверия к простым высказываниям, налагает естественные ограничения на субъективную истинность составных высказываний. Так, например, при возрастании субъективной оценки субъективная истинность таких высказываний « » и « », не должна уменьшаться. Очевидно, что для оценки высказывания « » требуется больше, а для оценки высказывания « » меньше данных, чем для оценки только одного . Беллман Р. и Гирц М. показали, что в субъективных оценках операции max и min не только естественны, но при разумных предположениях и единственно возможны. Следует отметить, что при ослаблении условия «все или ничего», понятие отрицания по необходимости становится нечетким. При этом между высказываниями «х и не x» уже нет столь четкой границы. Отсюда возникает вопрос, каким естественным условиям должна удовлетворять функция N, связывающая истинность высказывания «х и не x»? Иными словами, как следует выбирать N в равенстве ( )=N[ ?

Для того, чтобы обычная теория множеств оставалась частным случаем теории нечетких множеств, необходимо потребовать, чтобы N(0) стало равным 1, а N(1) = 0 и N[N( = и, чтобы функция N была непрерывной и строго монотонно убывающей, так как субъективная оценка высказывания «не x» должна уменьшаться с ростом оценки высказывания «x». В практических приложениях разумно пользоваться определением . Это определение и стало использоваться в теории нечетких множеств. Следует отметить, что специальные меры нечетких множеств можно описывать и, так называемыми, лингвистическими переменными предложенными Заде Л. [15].

Нечеткая статистика

Мотивировка - обычно неточность и неопределенность рассматривают, как случайные статистические характеристики и учитывают их с помощью методов теории вероятностей. В реальных ситуациях неточность, часто обусловлена не только наличием случайных переменных, но и принципиальной невозможностью работать с точными данными (их просто нет, или очень мало), из-за сложности системы или неточности ограничений и цели. Это возникло в связи с необходимостью решения труднорешаемых проблем и задач. Сегодня в реальных задачах стали обращать внимания на классы объектов с нечетко определенными границами. В связи с появлением теории Заде, неточность стали выражать таким образом, что объект может либо принадлежать, либо не принадлежать какому-то определенному классу, или же иметь к нему некоторую промежуточную степень принадлежности. Отрезок [0,1] позволил ученым решать задачи именно в этом интервале, то, что раньше мы не могли себе позволить.

Интуитивно понятия неточности и вероятности кажутся сходными. Это сходство подчеркивается и подтверждается тем обстоятельством, что интервал, изменяющий степени принадлежности к нечетким множествам, совпадает с отрезком [0….1]. Однако, между понятиями «нечеткость» и «вероятность» имеются существенные отличия, вероятность – объективная характеристика и выводы теории вероятностей могут быть экспериментально обоснованы, с другой стороны степень принадлежности является субъективной характеристикой. Т.е., маловероятно, с позиции теории вероятностей, чтобы событие имело малую вероятность, точнее, имело малую степень принадлежности. На самом деле тщательный анализ нечетких переменных показывает, что их можно разбить на два класса: статистический и не статистический. Отличие теории нечетких множеств состоит также и в том, что в ней, в отличие от теории вероятностей, в качестве основных операций, используются операции нахождения минимумов и максимумов, поэтому возможным обоснованием эффективности методов теории нечетких множеств может послужить решение на основе этой теории достаточно большего числа практических задач. Как известно, теорию вероятностей, как систематическую науку, можно построить на базе 3-х аксиом, совпадающих с соответствующими аксиомами теории меры. Необходимость развития нечеткой статистики обусловлена её методологической и содержательной связью с субъективной вероятностью. С субъективной точки зрения вероятность представляет собой степень уверенности в данном событии, которая возникает у индивидуума, на основе известных ему данных. Такая точка зрения (известная как индивидуальная или оценочная вероятность) описана Яковом Бернулли [42], который определил вероятность, как степень доверия высказыванию, в истинности которого мы не можем быть полностью убеждены. Эта степень доверия зависит от тех знаний, которыми может располагать индивидуум и, следовательно, различна для разных индивидуумов. Операции с такой вероятностью лучше всего описывать, как искусство угадывать, точнее, описывать, как искусство угадывания. Неясность суждений, основанных на субъективном анализе, обусловливает и те трудности, которые возникают в применениях субъективной вероятности. Общепризнано, что постулаты субъективной вероятности не применимы во многих интересных и полезных, но не точных, теориях современной науки. Субъективную вероятность можно рассматривать, как индивидуальный способ трактовки тех аспектов объективных данных, которые доступны индивидуальному суждению. Однако такие суждения не аддитивны, так как поведение человека часто находится в противоречии с предположением теории субъективной вероятности об аддитивности мер, используемых человеком в критериях оценки событий.