Разбор заданий контрольной работы № 1

Задача 1. Найти: а) область определения функции ;

б) значение функции в точке .

Решение.

а) Так как является дробно-рациональной функцией, то областью определения этой функции представляет собой множество всех комплексных чисел, исключая те, которые обращают знаменатель в ноль. Составим и решим уравнение . Уравнение имеет комплексные корни, так как его дискриминант . Найдем корни: . Таким образом, областью определения функции является множество всех комплексных чисел кроме .

б) Найдем значение функции в заданной точке .

Выполним действия

.

Для того, чтобы поделить два комплексных числа числитель и знаменатель дроби умножим на число сопряженной знаменателю получим .

Таким образом, .

Задача 2. Найти все решения уравнения , используя формулу Муавра, ответ записать в тригонометрической форме.

Решение.

Преобразуем уравнение так, чтобы выразить .

или .

Найдем тригонометрическую форму комплексного числа:

. ,

так как .

Тогда .

Используем формулу Муавра

.

Уравнение имеет 3 комплексных корня, получаемых при различных значениях .

.

Задача 3. Решить матричное уравнение , где

, , , ,

Решение:

Убедимся, что матрица не является вырожденной, то есть обладает обратной матрицей. Для этого вычислим её определитель:

.

Разложим определитель, например, по элементам второго столбца:

210.

Определитель отличен от нуля, поэтому обратная матрица существует, и мы можем вычислить обратную матрицу по формуле:

.

Вычислим алгебраические дополнения:

Таким образом, матрица, составленная из алгебраических дополнений, имеет вид:

( )

Транспонирование матрицы – такое преобразование этой матрицы, при котором ее строки становятся столбцами с теми же номерами. Транспонированная матрица к матрице ( ) будет выглядеть так:

,

тогда

или .

Таким образом, уравнение имеет единственное решение. Выполним преобразование левой части уравнения

, , ,

.

Обозначим произведение матриц , где матрица размерности элементами .

Получим . .

Матрица

и .

Исходное уравнение принимает вид

.

Умножим левую и правую части уравнения слева на , получаем ,

.

Задача 4. Решить систему уравнений, используя правило Крамера

Решение:

Вычислим определитель матрицы, составленной из коэффициентов, стоящих при переменных в предложенной системе линейных уравнений:

Его назовем главным определителем, . Если главный определитель отличен от нуля, то система имеет единственное решение и найти его можно по правилу Крамера. Для этого заменим в матрице коэффициентов первый столбец на столбец свободных членов, и вычислим определитель такой матрицы:

Аналогичным образом, получаем матрицы с замененными вторым и третьим столбцами соответственно, затем, вычислим определители этих матриц.

Решение системы можно найти таким образом:

Задача 5. Доказать совместность системы и найти ее решение

Решение:

Запишем расширенную матрицу системы

Вычтем из второй строки первую, предварительно умноженную на 4

Вычтем из третьей строки первую, умноженную на 5

Наконец, вычтем из четвертой строки первую, умноженную на два

Затем вторую строку умножим на – 1 и прибавим ее к третьей и четвертой строкам

.

Ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен 2. Число свободных неизвестных в общем случае равно , где n – количество неизвестных системы, r – ранг матрицы системы. У нас число свободных неизвестных равно 4 – 2 = 2.

Новой расширенной матрице соответствует система

.

Пусть – свободные переменные, принимающие любые действительные значения. Все остальные неизвестные выразим через них. Из второго уравнения системы выразим .

Подставляя найденное выражение для в первое уравнение, получаем

.

Таким образом, общее решение системы имеет вид ( R).