РАЗДЕЛ II. Аналитическая геометрия.

2.1. Скалярное и векторное произведения векторов.

2.1.1. Векторы a и b образуют угол p/6, |а| = 2 и |b| = 5. Найти (a, b).

2.1.2. Векторы a и b образуют угол p/4, |а| = 4 и |b| = 3. Найти (a, b).

2.1.3. Векторы a и b образуют угол 2p/3, |а| = 3 и |b| = 2. Найти (a, b).

2.1.4. Векторы a и b образуют угол p/6, |а| = 2 и |b| = 1. Найти (2a – 3b, 4a + 2b).

2.1.5. Векторы a и b образуют угол p/4, |а| = 4 и |b| = 3. Найти (2a – 3b, a + 2b).

2.1.6. Векторы a и b образуют угол 2p/3, |а| = 3 и |b| = 2. Найти (a – 3b, 4a + 2b).

2.1.7. Найти скалярное произведение векторов a = {1;2;-1} и b = {2,0,3}.

2.1.8. Найти скалярное произведение векторов a = {3;2;-4} и b = {2,1,3}.

2.1.9. Даны векторы a = {1;2;-2} и b = {4,0,3}. Найти (a – 3b, 4a + 2b).

2.1.10. Даны векторы a = {2;2;-1} и b = {0,5,-12}. Найти (2a – b, 3a + 2b).

2.1.11. Найти косинус угла между векторами a = {1;1;0} и b = {1,0,1}.

2.1.12. Найти косинус угла между векторами a = {1;2;3} и b = {6,4,-2}.

2.1.13. Даны точки A = (-1; -2; 4), B = (-4, -2,0), C = (3, -2,1). Найти косинус внутреннего угла треугольника ABC при вершине B.

2.1.14. Даны точки A = (3; 2; -3), B = (5, 1, -1), C = (1, -2, 1). Найти косинус внешнего угла треугольника ABC при вершине A.

2.1.15. Даны векторы a = {3;-1;-2} и b = {1,2,-1}. Найти [2a – b, 2a + b].

2.1.16. Даны векторы a = {2;2;-1} и b = {0,5,-12}. Найти [2a + b, 3a + 2b].

2.1.17. Даны точки A = (1; -1; 2), B = (5, -6,2), C = (1,3, -1). Найти площадь треугольника ABC и длину высоты этого треугольника, опущенной из вершины B.

2.1.18. Даны точки A = (1; 2; 0), B = (3,0, -3), C = (5,2,6). Найти площадь треугольника ABC и длину высоты этого треугольника, опущенной из вершины A.

2.1.19. Параллельны ли векторы a= {2;-1;1}, b = {1;-1;2}, c = {3;-2;3} одной плоскости?

2.1.20. Параллельны ли векторы a= {3;0;1}, b = {2;1;3}, c = {5;1;1} одной плоскости?

2.1.21. Лежат ли точки A = (0;0;0), B = (1;-1;2), C = (1;1;3), D = (2;0;5) в одной плоскости?

2.1.22. Лежат ли точки A = (1;1;1), B = (2;1;1), C = (1;2;1), D = (1;1;2) в одной плоскости?

2.1.23. Даны точки A = (1;-1;2), B = (5;-6;2), C = (1;3;-1), D = (2;-1;2). Найти объем тетраэдра ABCD и длину высоты этого тетраэдра, опущенной из вершины D.

2.1.24. Даны точки A = (1;2;0), B = (3;0;-3), C = (5;2;6), D = (1;2;1). Найти объем тетраэдра ABCD и длину высоты этого тетраэдра, опущенной из вершины D.

2.2. Прямая на плоскости.

2.2.1. Даны точки A = (1;2), B = (3;0), C = (6;2). Найти уравнение прямой, проходящей через точку A и параллельной вектору .

2.2.2. Даны точки A = (3;1), B = (1;-1), C = (0;2). Найти уравнение прямой, проходящей через точку A и параллельной вектору .

2.2.3. Найти уравнение прямой, проходящей через точки A = (1;2) и B = (3;8).

2.2.4. Найти уравнение прямой, проходящей через точки A = (1;2) и B = (3;4).

2.2.5. Найти уравнение прямой, проходящей через точки A = (-1;0) и B = (-1,3).

2.2.6. Даны точки A = (1;2) и B = (3,0). Найти уравнение прямой, проходящей через точки A и B.

2.2.7. Даны точки A = (3;-2) и B = (5,0). Найти уравнение прямой, проходящей через точки A и B.

2.2.8. Даны точка A = (1;-3) и прямая L: = . Найти уравнение прямой, проходящей через точку A и параллельной прямой L.

2.2.9.Даны точка A = (-3;2) и прямая L: = . Найти уравнение прямой, проходящей через точку A и параллельной прямой L.

2.2.10. Даны точка A = (1;-3) и прямая L: x = 2t+1, y = -3t+2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку A и параллельной прямой L.

2.2.11. Даны точка A = (2;3) и прямая L: x = t+2, y = 3t-4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку A и параллельной прямой L.

2.2.12. Найти угол наклона прямой x-2y+5= 0 к оси ОХ.

2.2.13. Найти угол наклона прямой 3x+ y+1=0 к оси ОХ.

2.2.14. Найти точку пересечения прямых 2x+y-2= 0 и 2x-y+6=0.

2.2.15. Найти точку пересечения прямых x-3y+2=0 и x+3y+14=0.

2.2.16. Найти точку пересечения прямых = и x+2y+16=0.

2.2.17. Найти точку пересечения прямых = и 3x-7y+7=0.

2.2.18. Даны точка M₀ = (2;-1) и прямая L: 3x-y+2=0. Найти уравнение прямой, перпендикулярной L и проходящей через M₀.

2.2.19. Даны точка M₀ = (3;-2) и прямая L: 2x-3y=1. Найти уравнение прямой, перпендикулярной L и проходящей через M₀.

2.2.20. Даны точка M₀ = (1;-3) и прямая L: x+2y=3. Найти уравнение прямой, перпендикулярной L и проходящей через M₀.

2.2.21.Параллельны ли прямые x+y=0 и x-y-8=0?

2.2.22.Параллельны ли прямые x+y=0 и 2x+2y-8=0?

2.2.23. Параллельны ли прямые x = 3t-2, y = -4t+1 и 4x-3y-5=0?

2.2.24. Параллельны ли прямые x = t+2, y = -t+1 и x-y=0?

2.2.25. Перпендикулярны ли прямые x = t-3, y = -2t+3 и x-2y-3=0?

2.2.26. Перпендикулярны ли прямые x = t+2, y = -2t+1 и 3x+y=0?

2.2.27. Перпендикулярны ли прямые 3x+y+1=0 и x-3y+3=0?

2.2.28. Перпендикулярны ли прямые x = 2t+1, y = 3t-2 и 2x+y-4z+2=0?

2.2.29. Перпендикулярны ли прямые 5x+y-5=0 и y=0,2x-2?

2.2.30. Найти расстояние от точки A = (-1;3) до прямой x-2y+5=0.

2.2.31. Найти расстояние от начала координат до прямой x- y+3=0.

2.2.32. Даны точки A = (-3;5), B = (7;9), C = (-2;1). Найти уравнение прямой, на которой лежит медиана треугольника ABC, проведенная из вершины С.

2.2.33. Даны точки A = (-1;2), B = (8;6), C = (0;0). Найти уравнение прямой, на которой лежит медиана треугольника ABC, проведенная из вершины A.

2.2.34. Даны точки A = (-1;2), B = (1;-1), C = (3;1). Найти уравнение прямой, на которой лежит медиана треугольника ABC, проведенная из вершины A.

2.2.35. Даны точки A = (2;-2), B = (3;1), C = (5;-1). Найти уравнение прямой, на которой лежит медиана треугольника ABC, проведенная из вершины A.

2.2.36. Даны точки A = (2;-1), B = (3;-2), C = (5;1). Найти уравнение прямой, на которой лежит высота треугольника ABC, проведенная из вершины B.

2.2.37. Даны точки A = (-1;2), B = (8;6), C = (0;0). Найти уравнение прямой, на которой лежит высота треугольника ABC, проведенная из вершины B.

2.2.38. Даны точки A = (0;0), B = (0;1), C = (1; ). Найти уравнение прямой, на которой лежит биссектриса треугольника ABC, проведенная из вершины A.

2.3. Плоскость.

2.3.1. Даны точка A = (1;-2;5) и вектор a = {-3,4,7}. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной вектору a.

2.3.2. Даны точки A = (1;2;0), B = (3,0,-3), C = (6,2,-2). Найти уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной вектору .

2.3.3. Даны точки A = (1;2;-1), B = (1,0,-1), C = (0,2,2). Найти уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной вектору .

2.3.4. Точка M₀ = (2;3;-1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки A = (1;2;-1) на плоскость. Найти уравнение этой плоскости.

2.3.5. Точка M₀ = (3;4;-2) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Найти уравнение этой плоскости.

2.3.6. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ = (3;-2;1) и параллельной плоскости 2x-3y+z=1.

2.3.7. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ = (1;0;-2) и параллельной плоскости x=2y.

2.3.8. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ = (2;-3;0) и параллельной плоскости 3x-y+2z=2.

2.3.9. Найти косинус угла между плоскостями 3x+2y-3z-4=0 и x+y-3z-7=0.

2.3.10. Найти косинус угла между плоскостями x+y+3z+6=0 и y+z-1=0.

2.3.11. Найти угол между плоскостями x=y и 2 x-3=0.

2.3.12. Найти угол между плоскостями x+y+z=1 и x+y+z=-1.

2.3.13. Найти угол между плоскостями 2x+y-z+1=0 и x-y+5=0.

2.3.14. Параллельны ли плоскости x-2y+3z-1=0 и -2x+4y-6z-3=0?

2.3.15. Параллельны ли плоскости x+y-2z+2=0 и x-y-2z+5=0?

2.3.16. Перпендикулярны ли плоскости 2x+3y-z-1=0 и x-y-z+1=0?

2.3.17. Перпендикулярны ли плоскости 2x-5y+z+3=0 и x+2z+2=0?

2.3.18. При каких значениях a и b плоскости 3x-y+az-9=0 и 2x+by+2z-3=0 параллельны?

2.3.19. При каких значениях a и b плоскости bx+3y-2z-1=0 и 2x-5y-az=0 параллельны?

2.3.20. При каком значении a плоскости 5x+y-3z=0 и 2x+ay-3z+5=0 перпендикулярны?

2.3.21. При каком значении a плоскости 7x-2y-z-9=0 и ax+y-3z=0 перпендикулярны?

2.3.22. Даны точка M₀ = (1;2;-1) и векторы а = {1,0,-1}, b = {3,2,1}. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ и параллельной векторам a и b.

2.3.23. Даны точка M₀ = (2;3;0) и векторы а = {2,1,2}, b = {-1,-2,3}. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ и параллельной векторам a и b.

2.3.24. Даны точки M₀ = (1;-2;1), B = (1,0,-1) и вектор b = {0,2,-1}. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки M_0,, B и параллельной вектору b.

2.3.25. Даны точки M₀ = (-1;3;0), B = (2,1,-1) и вектор b = {1,-2,1}. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки M_0,, B и параллельной вектору b.

2.3.26 Даны точки A = (0;0;0), B = (2;5;-1), C = (1;0;3). Найти уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C.

2.3.27 Даны точки A = (1;2;-1), B = (1;0;-1), C = (0;2;2). Найти уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C.

2.3.28. Даны точки A = (-1;1;3), B = (-1;2;4), C = (1;-2;3). Найти уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C.

2.3.29. Найти расстояние от точки A = (2;-1;3) до плоскости 7x+y+5z+1=0.

2.3.30. Найти расстояние от точки O = (0;0;0) до плоскости x+y+z=1.

2.3.31. Даны точки A = (1;5;-7), B = (-3;6;3), C = (-2;7;3), D = (1;-1;2). Написать уравнение плоскости a, проходящей через точки A, B, C, и найти расстояние h от точки D до a.

2.3.32. Даны точки A = (-1;1;3), B = (-1;2;4), C = (1;-2;3), D = (1;-1;2). Написать уравнение плоскости a, проходящей через точки A, B, C, и найти расстояние h от точки D до a.

2.4. Прямая в пространстве.

2.4.1. Даны точки A = (1;2;0), B = (3,0,-3), C = (6,2,-2). Найти канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A и параллельной вектору .

2.4.2. Даны точки A = (1;2;-1), B = (1,0,-1), C = (0,2,2). Найти канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A и параллельной вектору .

2.4.3. Даны точки A = (1;2;0) и B = (3,0,-3). Найти канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки A и B.

2.4.4. Даны точки A = (3;-2;1) и B = (5,0,2). Найти канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки A и B.

2.4.5. Даны точка A = (1;-3;2) и прямая L: = = . Найти канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A и параллельной прямой L.

2.4.6.Даны точка A = (-3;2;4) и прямая L: = = . Найти канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A и параллельной прямой L.

2.4.7. Даны точка A = (1;-3;2) и прямая L: x = 2t+1, y = -3t+2, z = t-2. Найти канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A и параллельной прямой L.

2.4.8. Даны точка A = (0;1;2) и прямая L: x = t+2, y = 3t-4, z = 2t-1. Найти канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A и параллельной прямой L.

2.4.9. Даны две плоскости 2x+y+z-2=0 и 2x-y-3z+6=0. Найти канонические и параметрические уравнения прямой, являющейся пересечением этих плоскостей.

2.4.10. Даны две плоскости x-3y+2z+2=0 и x+3y+z+14=0. Найти канонические и параметрические уравнения прямой, являющейся пересечением этих плоскостей.

2.4.11. Даны точка M₀ = (3;-2;1) и плоскость a: 2x-3y+z=1. Найти канонические и параметрические уравнения прямой, перпендикулярной a и проходящей через M₀.

2.4.12. Даны точка M₀ = (1;-3;2) и плоскость a: x+2y-z=3. Найти канонические и параметрические уравнения прямой, перпендикулярной a и проходящей через M₀.

2.4.13. Параллельна ли прямая x = 3t-2, y = -4t+1, z = 4t-5 плоскости 4x-3y-6z-5=0?

2.4.14. Параллельна ли прямая x = t+2, y = -t+1, z = 2t-5 плоскости x-y+z=0?

2.4.15. Перпендикулярна ли прямая x = t-3, y = -2t+3, z = 4t+1 плоскости x-2y+4z-3=0?

2.4.16. Перпендикулярна ли прямая x = t+2, y = -2t+1, z = -t-2 плоскости 3x+y-z=0?

2.4.17. Даны прямая = = и плоскость x+2y-5z+16=0. Найти их точку пересечения.

2.4.18. Даны прямая = = и плоскость 3x-7y-2z+7=0. Найти их точку пересечения.

2.4.19. Даны точки A = (-1;2;1), B = (1,-1,-3), C = (3,1,1). Найти канонические и параметрические уравнения прямой, на которой лежит медиана треугольника ABC, проведенная из вершины A.

2.4.20. Даны точки A = (2;-2;3), B = (3,1,-1), C = (5,-1,3). Найти канонические и параметрические уравнения прямой, на которой лежит медиана треугольника ABC, проведенная из вершины A.

2.4.21. Даны прямая L₁: = = и плоскости a: x+y-z=0, b: x-y-5z-8=0. Прямая L₂ – пересечение плоскостей a и b. Параллельны ли прямые L₁ и L₂.

2.4.22. Даны прямая L₁: x = 2t+5, y = -t+2, z = t-7 и плоскости a: x+3y+z+2=0, b: x-y-3z-2=0. Прямая L₂ – пересечение плоскостей a и b. Параллельны ли прямые L₁ и L₂.

2.4.23. Даны плоскости a₁: x+y-3z+1=0, a₂: x-y+z+3=0, b₁: x+2y-5z-1=0, b₂: x-2y+3z-9=0. Прямая L₁ – пересечение плоскостей a₁ и a₂, прямая L₂ – пересечение плоскостей b₁ и b₂. Параллельны ли прямые L₁ и L₂.

2.4.24. Даны прямая L₁: = = и плоскости a: 3x+y-5z+1=0, b: 2x+3y-8z+3=0. Прямая L₂ – пересечение плоскостей a и b. Перпендикулярны ли прямые L₁ и L₂.

2.4.25. Даны прямая L₁: x = 2t+1, y = 3t-2, z = -6t+1 и плоскости a: 2x+y-4z+2=0, b: 4x-y-5z+4=0. Прямая L₂ – пересечение плоскостей a и b. Перпендикулярны ли прямые L₁ и L₂.

2.4.26. Даны плоскости a₁: x+y-3z-1=0, a₂: 2x-y-9z-2=0, b₁: 2x+y+2z+5=0, b₂: 2x-2y-z+2=0. Прямая L₁ – пересечение плоскостей a₁ и a₂, прямая L₂ – пересечение плоскостей b₁ и b₂. Перпендикулярны ли прямые L₁ и L₂.