Метод статистической линеаризации

В тех случаях, когда управляемое движение летательного аппарата, происходящее при воздействии случайных возмущений, описывается нелинейными уравнениями, распределения вероятно­стей фазовых координат оказываются негауссовскими. Это услож­няет задачу анализа точности нелинейных систем и является при­чиной отсутствия единого универсального метода ее решения.

В данном разделе рассматривается приближенный метод стати­стического анализа стохастических систем, называемый методом статистической линеаризации. В его основу положены использова­ние принципа статистической линеаризации для замены нелиней­ных звеньев исследуемой системы эквивалентными им в статисти­ческом смысле линейными соотношениями и применение частотно­го метода для анализа точности результирующей статистически линеаризованной системы.

Принцип статистической линеаризации. Рассмотрим нелинейное соотношение

метод статистической линеаризации - student2.ru

где х и у — скалярные случайные процессы.

Заменим это соотношение следующим:

метод статистической линеаризации - student2.ru

Входящие в (2.32) статистическая характеристика нелинейности Фо и статистический коэффициент усиления К — неслучайные функ­ции; метод статистической линеаризации - student2.ru —центрированный случайный процесс.

Характеристику метод статистической линеаризации - student2.ru и коэффициент К выбирают так, чтобы про­цессы y(t) и z(t) были статистически эквивалентны друг другу. Критерии эквивалентности могут быть различными. Каждый из них определяет способ расчета характеристики метод статистической линеаризации - student2.ru и коэффициента К. В практике расчетов наиболее широкое распространение нашли следующие два способа замены нелинейности метод статистической линеаризации - student2.ru соотношением (2.32).

Первый способ. Требуется выполнение двух равенств: my = mz

и Dy = Dz. Поскольку метод статистической линеаризации - student2.ru , то

метод статистической линеаризации - student2.ru

Из равенства Dy = Dz с учетом метод статистической линеаризации - student2.ru и метод статистической линеаризации - student2.ru получаем соотношение для расчета коэффициента:

метод статистической линеаризации - student2.ru

Второй способ. При этом способе метод статистической линеаризации - student2.ru и К определяются из усло­вия минимума среднего квадрата ошибки аппроксимации

метод статистической линеаризации - student2.ru

Поскольку

метод статистической линеаризации - student2.ru

где Кxy — взаимный корреляционный момент переменных х и у.

Необходимыми условиями экстремума метод статистической линеаризации - student2.ru по метод статистической линеаризации - student2.ru и К являются равенства

метод статистической линеаризации - student2.ru

откуда

метод статистической линеаризации - student2.ru

а

метод статистической линеаризации - student2.ru

Поскольку метод статистической линеаризации - student2.ru

то окончательное выражение для К имеет вид

метод статистической линеаризации - student2.ru

Можно показать, что при определении метод статистической линеаризации - student2.ru и К(2) с помощью соотно­шений (2.35) и (2.36) критерий метод статистической линеаризации - student2.ru достигает именно минимума [32]. Отметим, что характеристика метод статистической линеаризации - student2.ru при первом и втором способах ап­проксимации рассчитывается с помощью одного и того же соотно­шения (2.35).

Полученные формулы позволяют найти зависимость вида (2.32), эквивалентную заданной нелинейной зависимости метод статистической линеаризации - student2.ru в соот­ветствии с выбранным критерием. Для этого должно быть известно одномерное распределение р(х) входного воздействия x(t).

Когда нелинейное звено метод статистической линеаризации - student2.ru является элементом замкнутой динамической системы, распределение р(х) может быть произволь­ным и при расчете метод статистической линеаризации - student2.ru и К не известно. Однако если учесть свойство нормализации, заключающееся в том, что распределения вероятно­стей выходных переменных инерционных звеньев замкнутой нели­нейной динамической системы близки к гауссовскому даже при негауссовских распределениях их входных переменных [32], то рас­пределение р(х) переменной на входе нелинейности метод статистической линеаризации - student2.ru , нахо­дящейся после инерционного звена замкнутой системы, можно приближенно считать гауссовским. В этом допущении и заключает­ся приближенность метода статистической линеаризации.

Если в соотношениях (2.33), (2.35) и (2.36) плотность распре­деления р(х) предположить гауссовской, то входящие в них несоб­ственные интегралы могут быть вычислены или сведены к интегра­лу Лапласа и получены выражения для величин метод статистической линеаризации - student2.ru и метод статистической линеаризации - student2.ru как функции математического ожидания тх и диспер­сии Dx воздействия x(t) на входе нелинейности.

Вычисление статистического коэффициента усиления К(2) можно упростить, воспользовавшись соотношением

метод статистической линеаризации - student2.ru

справедливым при гауссовском распределении входного воздейст­вия, поскольку в этом случае

метод статистической линеаризации - student2.ru

В случаях, когда метод статистической линеаризации - student2.ru —однозначная нечетная нелинейная функ­ция, статистическая характеристика метод статистической линеаризации - student2.ru может быть пред­ставлена в виде выражения

метод статистической линеаризации - student2.ru

Коэффициент метод статистической линеаризации - student2.ru называют статистическим коэффициентом усиления по математическому ожиданию входного воздействия x(t).

Пример. Для реле с уровнем насыщения А, учитывая результаты, полученные в примере, рассмотренном в разд. 1.1, и формулы (2.35) и (2.33), имеем

метод статистической линеаризации - student2.ru

а учитывая (2.40) и (2.37), получаем

метод статистической линеаризации - student2.ru

Формулы для статистических коэффициентов усиления некото­рых типовых нелинейных звеньев приведены в приложении 3.

Принцип статистической линеаризации может быть применен и в случае, когда процесс x(t) на входе нелинейности метод статистической линеаризации - student2.ru вектор­ный. Аппроксимирующая линейная зависимость приобретает вид

метод статистической линеаризации - student2.ru

Аргументами функций метод статистической линеаризации - student2.ru и метод статистической линеаризации - student2.ru , в многомерном случае яв­ляются вектор математических ожиданий тх и корреляционная матрица Кх случайного вектора x(t).

В выражении (2.42)

метод статистической линеаризации - student2.ru

а коэффициенты Ki (при втором способе статистической линеари­зации) рассчитываются по формуле

метод статистической линеаризации - student2.ru

Статистический анализ нелинейных систем. В сочетании с частот­ным методом статистического анализа принцип статистической ли­неаризации образует метод статистического анализа стационарных нелинейных систем в установившемся режиме, называемый методом статистической линеаризации.

Рассмотрим нелинейную систему, структурная схема которой приведена на рис. 2.2. Система состоит из стационарной линейной части, описываемой передаточной функцией W(p), и нелинейности метод статистической линеаризации - student2.ru в обратной связи, которую полагаем нечетной и однозначной.

метод статистической линеаризации - student2.ru

Рис. 2.2. Структурная схема нелинейной системы

Входное воздействие системы u(t) — ста­ционарный случайный процесс с извест­ными математическим ожиданием тu и спектральной плотностью метод статистической линеаризации - student2.ru . Требу­ется определить математическое ожида­ние тх и дисперсию Dx процесса x(t) на выходе системы в установившемся режиме.

Применяя принцип статистической линеаризации, заменим не­линейную функцию ср(х) эквивалентной зависимостью

метод статистической линеаризации - student2.ru

Выражения для метод статистической линеаризации - student2.ru и метод статистической линеаризации - student2.ru могут быть получены применительно к рассматриваемой нелинейности метод статистической линеаризации - student2.ru при помощи формул (2.35), (2.36) или (2.33) в соответствии с избранным спо­собом статистической линеаризации или взяты из таблицы.

В результате такой замены получаем статистически-линеаризо­ванную систему, для. которой в установившемся режиме

метод статистической линеаризации - student2.ru

И

метод статистической линеаризации - student2.ru

где

метод статистической линеаризации - student2.ru

— частотная характеристика замкнутой линеаризованной системы, связывающей метод статистической линеаризации - student2.ru c метод статистической линеаризации - student2.ru .

Если произведение метод статистической линеаризации - student2.ru является рациональной дро­бью, выражение для интеграла (2.46) может быть найдено с по­мощью формулы (2.28). В результате получаем систему из четырех трансцендентных уравнений, первые два которой суть выражения для коэффициентов метод статистической линеаризации - student2.ru и К, а два другие — соотношения для тх и Dx в зависимости от метод статистической линеаризации - student2.ru и К. Эту систему можно решить методом последовательных приближений или графически. В результате решения одновременно с тх и Dx определяются и коэффициенты метод статистической линеаризации - student2.ru и К.

Если в решаемой задаче рассматриваемый выход системы y(t) не совпадает с входом x(t) нелинейности метод статистической линеаризации - student2.ru , то задачу ана­лиза точности системы приходится решать в два этапа. На первом этапе в качестве выхода рассматривается переменная x(t), и по изложенной схеме находятся коэффициенты метод статистической линеаризации - student2.ru и К. На втором этапе, используя полученные значения коэффициентов метод статистической линеаризации - student2.ru и К, с по­мощью частотного метода определяем искомые характеристики ту и Dy выхода системы y(t).

метод статистической линеаризации - student2.ru

Рис. 2.3. Структурная схема нелинейно­го рулевого привода

Пример. Рассмотрим применение ме­тода статистической линеаризации для анализа точности нелинейного рулево­го привода с жесткой обратной связью [21]. Структурная схема привода, со­ставленная с учетом ряда упрощений, показана на рис. 2.3. Предположим, что входное воздействие u(t) является стационарным случайным процессом с метод статистической линеаризации - student2.ru и метод статистической линеаризации - student2.ru .

Требуется определить метод статистической линеаризации - student2.ru и метод статистической линеаризации - student2.ru угла поворота рулей метод статистической линеаризации - student2.ru . Вначале в качестве вы­хода рассматриваем переменную х. В установившемся режиме

метод статистической линеаризации - student2.ru

Дисперсия Dx определится из соотношения (2.46), где метод статистической линеаризации - student2.ru —частотная характеристика, соответствующая передаточной функции

метод статистической линеаризации - student2.ru

Для нелинейности типа «насыщение» с уровнем насыщения С при тх =0

метод статистической линеаризации - student2.ru

С учетом указанного выражения для метод статистической линеаризации - student2.ru

метод статистической линеаризации - student2.ru

где метод статистической линеаризации - student2.ru

Сводя интеграл (2.49) к метод статистической линеаризации - student2.ru , получаем

метод статистической линеаризации - student2.ru

Систему уравнений (2.48) и (2.50) можно решить методом последователь­ных приближений, задав в качестве начального приближения метод статистической линеаризации - student2.ru . Совмест­но с Dx из решения находим метод статистической линеаризации - student2.ru .

При полученной величине метод статистической линеаризации - student2.ru имеем

метод статистической линеаризации - student2.ru

где метод статистической линеаризации - student2.ru .

Определив интеграл с помощью метод статистической линеаризации - student2.ru , окончательно находим

метод статистической линеаризации - student2.ru

В установившемся режиме

метод статистической линеаризации - student2.ru

Наши рекомендации