Метод статистической линеаризации

В тех случаях, когда управляемое движение летательного аппарата, происходящее при воздействии случайных возмущений, описывается нелинейными уравнениями, распределения вероятно­стей фазовых координат оказываются негауссовскими. Это услож­няет задачу анализа точности нелинейных систем и является при­чиной отсутствия единого универсального метода ее решения.

В данном разделе рассматривается приближенный метод стати­стического анализа стохастических систем, называемый методом статистической линеаризации. В его основу положены использова­ние принципа статистической линеаризации для замены нелиней­ных звеньев исследуемой системы эквивалентными им в статисти­ческом смысле линейными соотношениями и применение частотно­го метода для анализа точности результирующей статистически линеаризованной системы.

Принцип статистической линеаризации. Рассмотрим нелинейное соотношение

где х и у — скалярные случайные процессы.

Заменим это соотношение следующим:

Входящие в (2.32) статистическая характеристика нелинейности Фо и статистический коэффициент усиления К — неслучайные функ­ции; —центрированный случайный процесс.

Характеристику и коэффициент К выбирают так, чтобы про­цессы y(t) и z(t) были статистически эквивалентны друг другу. Критерии эквивалентности могут быть различными. Каждый из них определяет способ расчета характеристики и коэффициента К. В практике расчетов наиболее широкое распространение нашли следующие два способа замены нелинейности соотношением (2.32).

Первый способ. Требуется выполнение двух равенств: m_y = m_z

и D_y = D_z. Поскольку , то

Из равенства D_y = D_z с учетом и получаем соотношение для расчета коэффициента:

Второй способ. При этом способе и К определяются из усло­вия минимума среднего квадрата ошибки аппроксимации

Поскольку

где К_xy — взаимный корреляционный момент переменных х и у.

Необходимыми условиями экстремума по и К являются равенства

откуда

а

Поскольку

то окончательное выражение для К имеет вид

Можно показать, что при определении и К⁽²⁾ с помощью соотно­шений (2.35) и (2.36) критерий достигает именно минимума [32]. Отметим, что характеристика при первом и втором способах ап­проксимации рассчитывается с помощью одного и того же соотно­шения (2.35).

Полученные формулы позволяют найти зависимость вида (2.32), эквивалентную заданной нелинейной зависимости в соот­ветствии с выбранным критерием. Для этого должно быть известно одномерное распределение р(х) входного воздействия x(t).

Когда нелинейное звено является элементом замкнутой динамической системы, распределение р(х) может быть произволь­ным и при расчете и К не известно. Однако если учесть свойство нормализации, заключающееся в том, что распределения вероятно­стей выходных переменных инерционных звеньев замкнутой нели­нейной динамической системы близки к гауссовскому даже при негауссовских распределениях их входных переменных [32], то рас­пределение р(х) переменной на входе нелинейности , нахо­дящейся после инерционного звена замкнутой системы, можно приближенно считать гауссовским. В этом допущении и заключает­ся приближенность метода статистической линеаризации.

Если в соотношениях (2.33), (2.35) и (2.36) плотность распре­деления р(х) предположить гауссовской, то входящие в них несоб­ственные интегралы могут быть вычислены или сведены к интегра­лу Лапласа и получены выражения для величин и как функции математического ожидания т_х и диспер­сии D_x воздействия x(t) на входе нелинейности.

Вычисление статистического коэффициента усиления К⁽²⁾ можно упростить, воспользовавшись соотношением

справедливым при гауссовском распределении входного воздейст­вия, поскольку в этом случае

В случаях, когда —однозначная нечетная нелинейная функ­ция, статистическая характеристика может быть пред­ставлена в виде выражения

Коэффициент называют статистическим коэффициентом усиления по математическому ожиданию входного воздействия x(t).

Пример. Для реле с уровнем насыщения А, учитывая результаты, полученные в примере, рассмотренном в разд. 1.1, и формулы (2.35) и (2.33), имеем

а учитывая (2.40) и (2.37), получаем

Формулы для статистических коэффициентов усиления некото­рых типовых нелинейных звеньев приведены в приложении 3.

Принцип статистической линеаризации может быть применен и в случае, когда процесс x(t) на входе нелинейности вектор­ный. Аппроксимирующая линейная зависимость приобретает вид

Аргументами функций и , в многомерном случае яв­ляются вектор математических ожиданий т_х и корреляционная матрица К_х случайного вектора x(t).

В выражении (2.42)

а коэффициенты K_i (при втором способе статистической линеари­зации) рассчитываются по формуле

Статистический анализ нелинейных систем. В сочетании с частот­ным методом статистического анализа принцип статистической ли­неаризации образует метод статистического анализа стационарных нелинейных систем в установившемся режиме, называемый методом статистической линеаризации.

Рассмотрим нелинейную систему, структурная схема которой приведена на рис. 2.2. Система состоит из стационарной линейной части, описываемой передаточной функцией W(p), и нелинейности в обратной связи, которую полагаем нечетной и однозначной.

Рис. 2.2. Структурная схема нелинейной системы

Входное воздействие системы u(t) — ста­ционарный случайный процесс с извест­ными математическим ожиданием т_u и спектральной плотностью . Требу­ется определить математическое ожида­ние т_х и дисперсию D_x процесса x(t) на выходе системы в установившемся режиме.

Применяя принцип статистической линеаризации, заменим не­линейную функцию ср(х) эквивалентной зависимостью

Выражения для и могут быть получены применительно к рассматриваемой нелинейности при помощи формул (2.35), (2.36) или (2.33) в соответствии с избранным спо­собом статистической линеаризации или взяты из таблицы.

В результате такой замены получаем статистически-линеаризо­ванную систему, для. которой в установившемся режиме

И

где

— частотная характеристика замкнутой линеаризованной системы, связывающей c .

Если произведение является рациональной дро­бью, выражение для интеграла (2.46) может быть найдено с по­мощью формулы (2.28). В результате получаем систему из четырех трансцендентных уравнений, первые два которой суть выражения для коэффициентов и К, а два другие — соотношения для т_х и D_x в зависимости от и К. Эту систему можно решить методом последовательных приближений или графически. В результате решения одновременно с т_х и D_x определяются и коэффициенты и К.

Если в решаемой задаче рассматриваемый выход системы y(t) не совпадает с входом x(t) нелинейности , то задачу ана­лиза точности системы приходится решать в два этапа. На первом этапе в качестве выхода рассматривается переменная x(t), и по изложенной схеме находятся коэффициенты и К. На втором этапе, используя полученные значения коэффициентов и К, с по­мощью частотного метода определяем искомые характеристики т_у и D_y выхода системы y(t).

Рис. 2.3. Структурная схема нелинейно­го рулевого привода

Пример. Рассмотрим применение ме­тода статистической линеаризации для анализа точности нелинейного рулево­го привода с жесткой обратной связью [21]. Структурная схема привода, со­ставленная с учетом ряда упрощений, показана на рис. 2.3. Предположим, что входное воздействие u(t) является стационарным случайным процессом с и .

Требуется определить и угла поворота рулей . Вначале в качестве вы­хода рассматриваем переменную х. В установившемся режиме

Дисперсия D_x определится из соотношения (2.46), где —частотная характеристика, соответствующая передаточной функции

Для нелинейности типа «насыщение» с уровнем насыщения С при т_х =0

С учетом указанного выражения для

где

Сводя интеграл (2.49) к , получаем

Систему уравнений (2.48) и (2.50) можно решить методом последователь­ных приближений, задав в качестве начального приближения . Совмест­но с D_x из решения находим .

При полученной величине имеем

где .

Определив интеграл с помощью , окончательно находим

В установившемся режиме