Линейные операции над векторами»

Блок «Матрицы»

1. Аnxn=(aij)

Сколько элементов расположено:

· Над главной диагональю:

· На главной диагонали:

· Под главной диагональю:

Ответ:

На главной диагонали: Линейные операции над векторами» - student2.ru

Под главной диагональю: : Линейные операции над векторами» - student2.ru

Над главной диагональю: : Линейные операции над векторами» - student2.ru

2. Запишите матрицы А3x3 элементы, которых aik определяются по форме:

1) aik=i+k;

2) aik=i∙k

3) aik=(i-k)2

4) aik=i2k+ik2

Совпадают ли элементы этих матриц расположенных симметрично относительно главной диагонали.

Ответ:

1) A= Линейные операции над векторами» - student2.ru

2) A= Линейные операции над векторами» - student2.ru

3) A= Линейные операции над векторами» - student2.ru

4) A= Линейные операции над векторами» - student2.ru

Да, совпадают.

3. Для каких матриц Аmxn существуют A+AT

Ответ:

Для квадратных матриц.

4. Найти матрицу Х удовлетворяющую условию 3A+2X=E, где Е – единичная матрица 3-его порядка и матрица А равна:

А= Линейные операции над векторами» - student2.ru

Ответ:

Х= Линейные операции над векторами» - student2.ru

5. Известно, что A2x3∙Bmxn2x6. Найти m и n.

Ответ:

m=3; n=6

6. Даны матрицы A2x3, B3x1,C3x3. Существую ли произведения: АВ, ВA, AC, CA, ABC, CB, CBA, АСВ.

Ответ:

Существуют: АВ, AC,АСВ,СВ;

Не существуют: ВА, СА, АВС, СВА.

7. Найти сумму матриц А+В, разность А-В, произведение А∙В и В∙А, если существует:

· А= Линейные операции над векторами» - student2.ru В= Линейные операции над векторами» - student2.ru

· А= Линейные операции над векторами» - student2.ru В= Линейные операции над векторами» - student2.ru

· А= Линейные операции над векторами» - student2.ru В= Линейные операции над векторами» - student2.ru

· А= Линейные операции над векторами» - student2.ru В= Линейные операции над векторами» - student2.ru

· А= Линейные операции над векторами» - student2.ru В= Линейные операции над векторами» - student2.ru

· А= Линейные операции над векторами» - student2.ru В= Линейные операции над векторами» - student2.ru

8. Найдите все матрицы перестановочные с матрицей:

А= Линейные операции над векторами» - student2.ru

9. Вычислить степень приведённых ниже матриц:

· Линейные операции над векторами» - student2.ru

· Линейные операции над векторами» - student2.ru

· Линейные операции над векторами» - student2.ru

· Линейные операции над векторами» - student2.ru

Ответ:

1. Линейные операции над векторами» - student2.ru

2. Линейные операции над векторами» - student2.ru

3. Линейные операции над векторами» - student2.ru

4. Линейные операции над векторами» - student2.ru в четной степени, в нечетной степени- сама матрица.

10. Используя равенства:

Линейные операции над векторами» - student2.ru = Линейные операции над векторами» - student2.ru ;

Линейные операции над векторами» - student2.ru .

Вычислите

Линейные операции над векторами» - student2.ru

11. Докажите, что если матрицы А и В – перестановочные, то выполняется

(А+В)22+2АВ+В2

(А+В)(А-В)=А22

Верны ли эти равенства, если матрицы не являются перестановочными?

Ответ:

Если матрицы не перестановочные, равенство не выполняется.

12. Доказать, что если первая и вторая строки матрицы А равны, то первая и вторая строки матрицы АВ, так же равны.

13. Найдите f(A), если А= Линейные операции над векторами» - student2.ru

1. f(x) = x2-2x+5

2. f(x)=x2-5x+10

3. f(x)=(2x5-4x2+7)∙(x2-5x+10)+x+5

Ответ:

1. Линейные операции над векторами» - student2.ru

2. Линейные операции над векторами» - student2.ru

3. Линейные операции над векторами» - student2.ru

14. Вычислить определитель:

Линейные операции над векторами» - student2.ru 5. Линейные операции над векторами» - student2.ru

Линейные операции над векторами» - student2.ru 6. Линейные операции над векторами» - student2.ru

3. Линейные операции над векторами» - student2.ru 7. Линейные операции над векторами» - student2.ru

4. Линейные операции над векторами» - student2.ru 8. Линейные операции над векторами» - student2.ru

9. Линейные операции над векторами» - student2.ru

Найти x:

10. Линейные операции над векторами» - student2.ru 12. Линейные операции над векторами» - student2.ru

11. Линейные операции над векторами» - student2.ru

Доказать равенство:

13. Линейные операции над векторами» - student2.ru = ( Линейные операции над векторами» - student2.ru )( Линейные операции над векторами» - student2.ru

Ответ:

1. 11

2. -2

3. Линейные операции над векторами» - student2.ru

4. 2b-a

5. 1

6. 230

7. -1

8. -1

9. 0

10. X= Линейные операции над векторами» - student2.ru

11. X= Линейные операции над векторами» - student2.ru

12. X= Линейные операции над векторами» - student2.ru

13. Доказано.

15. Вычислить определитель αA, если α= Линейные операции над векторами» - student2.ru , а det А5x5=3

Ответ: 6

16. Дано: числа 185; 518; 851делятся на 37.

Докажите что определитель Линейные операции над векторами» - student2.ru делится на 37 не вычисляя его.

17. Вычислить определитель, раскладывая по элементам строки или столбцы, предварительно преобразовав их, используя свойства определителя.

1) Линейные операции над векторами» - student2.ru

2) Линейные операции над векторами» - student2.ru

3) Линейные операции над векторами» - student2.ru

4) Линейные операции над векторами» - student2.ru

5) Линейные операции над векторами» - student2.ru

6) Линейные операции над векторами» - student2.ru

7) Линейные операции над векторами» - student2.ru

Ответ:

1. 900

2. 297

3. 150

4. -35

5. 12

6. 0

7. -110

18. Вычислить определитель, предварительно преобразовав его.

1) Линейные операции над векторами» - student2.ru

2) Линейные операции над векторами» - student2.ru

3) Линейные операции над векторами» - student2.ru

4) Линейные операции над векторами» - student2.ru

5) Линейные операции над векторами» - student2.ru

Ответ:

1. -300

2. 30

3. -30

4. 45

5. 0

19. Найти матрицы обратные данным. Полученный результат проверить, используя определение обратной матрицы

1. А= Линейные операции над векторами» - student2.ru

2. А= Линейные операции над векторами» - student2.ru

3. А= Линейные операции над векторами» - student2.ru

4. А= Линейные операции над векторами» - student2.ru

Ответ:

Линейные операции над векторами» - student2.ru

Линейные операции над векторами» - student2.ru

Линейные операции над векторами» - student2.ru

Линейные операции над векторами» - student2.ru

20. Найдите какой-либо базисный минор матрицы:

1) Линейные операции над векторами» - student2.ru

2) Линейные операции над векторами» - student2.ru

3) Линейные операции над векторами» - student2.ru

4) Линейные операции над векторами» - student2.ru

5) Линейные операции над векторами» - student2.ru

6) Линейные операции над векторами» - student2.ru

21. Проверить системы уравнений на совместность и в случае совместности данных систем уравнений решить их:

1. Методом Гаусса

2. Методом Крамера

3. Матричным методом

1. Линейные операции над векторами» - student2.ru

2. Линейные операции над векторами» - student2.ru

3. Линейные операции над векторами» - student2.ru

4. Линейные операции над векторами» - student2.ru

5. Линейные операции над векторами» - student2.ru

6. Линейные операции над векторами» - student2.ru

Ответ:

1. x=1 y=0 z=2

2. x= Линейные операции над векторами» - student2.ru y= - Линейные операции над векторами» - student2.ru z= - Линейные операции над векторами» - student2.ru

3. x=7 y=-1 z=-3

4. Решений нет

5. x= Линейные операции над векторами» - student2.ru y=1 z= - Линейные операции над векторами» - student2.ru

6. Ø

22. Решить системы уравнений Методом Гаусса;

1. Линейные операции над векторами» - student2.ru

2. Линейные операции над векторами» - student2.ru

3. Линейные операции над векторами» - student2.ru

4. Линейные операции над векторами» - student2.ru

5. Линейные операции над векторами» - student2.ru

6. Линейные операции над векторами» - student2.ru

7. Линейные операции над векторами» - student2.ru

Ответ:

1. Нет решений

2. x1=1 ; х2=0 ;х3=-1 ;х4=2

3. решений нет

4. x2= Линейные операции над векторами» - student2.ru ; х1=R; x3= Линейные операции над векторами» - student2.ru ; х4=R

5. x1=-8,x2=R,x3=2x2,x4=-3+x2

6. Нет решений

7. x1, x4 =R; x2=1+x1-x4; x3=1

23. Решить системы уравнений и найти нормированную фундаментальную систему решений:

1. Линейные операции над векторами» - student2.ru

2. Линейные операции над векторами» - student2.ru

3. Линейные операции над векторами» - student2.ru

4. Линейные операции над векторами» - student2.ru

Ответ:

1. Линейные операции над векторами» - student2.ru Линейные операции над векторами» - student2.ru

2. Линейные операции над векторами» - student2.ru Линейные операции над векторами» - student2.ru Линейные операции над векторами» - student2.ru

3.НФСР – не существует. Решение тривиальное.

4. тривиальное решение.

24. Решить систему при всевозможных значениях параметра λ

Линейные операции над векторами» - student2.ru

Ответ:Если λ≠1 и λ≠4, то Х123=0. Если λ=1, то Х1=-Х23, где Х23=R., если λ=4, то Х23; Х1=-3Х3, где Х3=R

Блок «Вектор.

Линейные операции над векторами»

Деление отрезка в заданном отношении

Задача 1

Даны точки: А (3;-1) и В (2;1).

Определить:

1)Координаты точки М симметричной точке А, относительно точки В. 2)Координаты точки N симметричной точке В, относительно точки А.

Ответ:N=(4;-3) M=(1;3)

Задача 2

Даны три вершины параллелограмма А (3;-5), В (5;-3), С (-1;3).

Определить четвертую вершину D противоположную В.

Ответ:(-3;-5)

Задача 3

Даны вершины треугольника: А (1;4), В (3;-9), С (-5;2). Определить длину его медианы, проведённой из вершины В.

Ответ:13

Задача 4

Отрезок, ограниченный точками: А (1;-3) и В (4;2), разделён на 3 равные части. Определить координаты точек деления.

Ответ:(2;-1) и (3;1)

Задача 5

Даны вершины треугольника: А (3;-5), В (-3;3), С (-1;-2). Определить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.

Ответ: Линейные операции над векторами» - student2.ru

Полярная система координат

Задача 1

В полярной системе координат даны 2 вершины: А (3; Линейные операции над векторами» - student2.ru ) и В (5; Линейные операции над векторами» - student2.ru ) параллелограмма АВСD, точка пересечения диагоналей которого совпадает с полюсом. Определить две другие вершины этого параллелограмма.

Ответ:D (5; Линейные операции над векторами» - student2.ru и С (1; Линейные операции над векторами» - student2.ru

Задача 2

В полярной системе координат даны точки: А (8; Линейные операции над векторами» - student2.ru ) и В (6; Линейные операции над векторами» - student2.ru ). Вычислить полярные координаты середины отрезка АВ.

Ответ: С (1; Линейные операции над векторами» - student2.ru

Задача 3

В полярной системе координат даны две противоположные вершины квадрата: Р (6; Линейные операции над векторами» - student2.ru и Q (4; Линейные операции над векторами» - student2.ru ). Определить площадь квадрата.

Ответ: S=26+12 Линейные операции над векторами» - student2.ru

Задача 4

Полюс полярной системы координат совпадает с началом прямоугольной системой декартовых координат; а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс:

1) В полярной системе координат даны точки: Линейные операции над векторами» - student2.ru

Определить, декартовы координаты этих точек.

2) В декартовой прямоугольной системе координат даны точки:

Линейные операции над векторами» - student2.ru

Определить полярные координаты этих точек.

Ответ:

1) Линейные операции над векторами» - student2.ru

Линейные операции над векторами» - student2.ru

Линейные операции над векторами» - student2.ru

Линейные операции над векторами» - student2.ru

Линейные операции над векторами» - student2.ru

Линейные операции над векторами» - student2.ru

Линейные операции над векторами» - student2.ru

Линейные операции над векторами» - student2.ru

Линейные операции над векторами» - student2.ru

Линейные операции над векторами» - student2.ru

Линейные операции над векторами» - student2.ru

Задача 5

Установить какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями:

1) Линейные операции над векторами» - student2.ru , 2) Линейные операции над векторами» - student2.ru , 3) Линейные операции над векторами» - student2.ru , 4) Линейные операции над векторами» - student2.ru

Ответ:

1) Окружность, 2) Луч, 3) Прямая,

4) Окружность R=5 с центром в точке (0;5).

Вектор. Координаты вектора.

Задача 1

Определить начало вектора Линейные операции над векторами» - student2.ru (2;-3;-1), если его конец совпадает с точкой

(1;-1;2)

Ответ: (-1;2;3)

Задача 2

Дан модуль вектора Линейные операции над векторами» - student2.ru =2 и углы, которые вектор образует с координатными осями ОХ: Линейные операции над векторами» - student2.ru , ОУ: Линейные операции над векторами» - student2.ru , OZ: Линейные операции над векторами» - student2.ru .

Вычислить проекции Линейные операции над векторами» - student2.ru на координатные оси.

Ответ: ( Линейные операции над векторами» - student2.ru ;1;-1)

Задача 3

Вычислить направляющие Линейные операции над векторами» - student2.ru с координатами (12;-15;-16).

Ответ: ( Линейные операции над векторами» - student2.ru ; Линейные операции над векторами» - student2.ru

Задача 4

Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы:

1) Линейные операции над векторами» - student2.ru , Линейные операции над векторами» - student2.ru

2) Линейные операции над векторами» - student2.ru , Линейные операции над векторами» - student2.ru

3) Линейные операции над векторами» - student2.ru , Линейные операции над векторами» - student2.ru

Ответ: Могут 1 и 3.

Задача 5

Вектор составляет с осями ОХ и OZ углы: Линейные операции над векторами» - student2.ru , Линейные операции над векторами» - student2.ru . Какой угол он составляет с осью ОУ?

Ответ: Линейные операции над векторами» - student2.ru

Задача 6

Вектор Линейные операции над векторами» - student2.ru составляет с координатными осями ОХ и ОУ углы:

Линейные операции над векторами» - student2.ru .

Вычислить его координаты при условии, что модуль вектора Линейные операции над векторами» - student2.ru =2.

Ответ: (1;-1; Линейные операции над векторами» - student2.ru )

Задача 1

Дано:

Линейные операции над векторами» - student2.ru

Линейные операции над векторами» - student2.ru

Линейные операции над векторами» - student2.ru

Найти: Линейные операции над векторами» - student2.ru

Ответ: 22

Задача 2

Дано:

Линейные операции над векторами» - student2.ru

Линейные операции над векторами» - student2.ru

Линейные операции над векторами» - student2.ru

Найти: Линейные операции над векторами» - student2.ru

Ответ: 20

Задача 3

Даны 2 вектора Линейные операции над векторами» - student2.ru (3;-2;6) и Линейные операции над векторами» - student2.ru (-2;1;0).

Определить проекцию на координатную оси и модули векторов Линейные операции над векторами» - student2.ru и Линейные операции над векторами» - student2.ru

Ответ: Линейные операции над векторами» - student2.ru ; Линейные операции над векторами» - student2.ru

Задача 4

Проверить коллинеарность векторов Линейные операции над векторами» - student2.ru (2;-1;3) и Линейные операции над векторами» - student2.ru (-6;3;-9). Установить какой из них длиннее и во сколько раз.

Как они направлены: в одну или противоположные стороны?

Ответ:

Вектор Линейные операции над векторами» - student2.ru длиннее вектора Линейные операции над векторами» - student2.ru в 3 раза.

Задача 5

Определить при каких значениях Линейные операции над векторами» - student2.ru векторы:

Линейные операции над векторами» - student2.ru коллинеарны.

Ответ: Линейные операции над векторами» - student2.ru

Задача 6

Проверить, что точки А (3;-1;2), В (1;2;-1), С (-1;1;-3), D (3;-5;3) служат вершинами трапеции.

Задача 7

Даны 3 вектора Линейные операции над векторами» - student2.ru (3;-1), Линейные операции над векторами» - student2.ru (1;-2), Линейные операции над векторами» - student2.ru (-1; 7).

Определить разложение вектора Линейные операции над векторами» - student2.ru = Линейные операции над векторами» - student2.ru по базису Линейные операции над векторами» - student2.ru .

Ответ: p= Линейные операции над векторами» - student2.ru -3 Линейные операции над векторами» - student2.ru

Задача 8

Даны 4 вектора Линейные операции над векторами» - student2.ru (2;1;0), Линейные операции над векторами» - student2.ru (1;-1;2), Линейные операции над векторами» - student2.ru (2;2;-1), Линейные операции над векторами» - student2.ru (3;7;-7).

Определить разложения каждого из этих 4-х векторов принимая в качестве базиса 3 остальных.

Ответ:

· 2 Линейные операции над векторами» - student2.ru -3 Линейные операции над векторами» - student2.ru - Линейные операции над векторами» - student2.ru

· -2 Линейные операции над векторами» - student2.ru +3 Линейные операции над векторами» - student2.ru + Линейные операции над векторами» - student2.ru

· Линейные операции над векторами» - student2.ru + Линейные операции над векторами» - student2.ru

· Линейные операции над векторами» - student2.ru + Линейные операции над векторами» - student2.ru

Задача 1

Векторы Линейные операции над векторами» - student2.ru взаимно перпендикулярны, Линейные операции над векторами» - student2.ru образует с ними угол Линейные операции над векторами» - student2.ru .

Зная, что Линейные операции над векторами» - student2.ru =3, Линейные операции над векторами» - student2.ru =5, Линейные операции над векторами» - student2.ru =8 вычислить:

1)( Линейные операции над векторами» - student2.ru

Линейные операции над векторами» - student2.ru

Линейные операции над векторами» - student2.ru

Ответ: 1)-62, 2)162, 3) -34

Задача 2

Векторы Линейные операции над векторами» - student2.ru попарно образуют друг с другом углы, каждый их которых равен Линейные операции над векторами» - student2.ru . Зная, что Линейные операции над векторами» - student2.ru =4, Линейные операции над векторами» - student2.ru =2, Линейные операции над векторами» - student2.ru =6, определить модуль Линейные операции над векторами» - student2.ru = Линейные операции над векторами» - student2.ru

Ответ: 10.

Задача 3

Векторы Линейные операции над векторами» - student2.ru образуют угол, равный Линейные операции над векторами» - student2.ru . Зная, что Линейные операции над векторами» - student2.ru = Линейные операции над векторами» - student2.ru , Линейные операции над векторами» - student2.ru =1, вычислить угол между векторами:

р= Линейные операции над векторами» - student2.ru ;

q= Линейные операции над векторами» - student2.ru

Ответ: Линейные операции над векторами» - student2.ru Линейные операции над векторами» - student2.ru .

Задача 4

Даны векторы Линейные операции над векторами» - student2.ru (4;-2;-4), Линейные операции над векторами» - student2.ru (6;-3;2).

Вычислить Линейные операции над векторами» - student2.ru ; ( Линейные операции над векторами» - student2.ru ( Линейные операции над векторами» - student2.ru .

Ответ: 22;-200, 129

Задача 5

Даны силы Линейные операции над векторами» - student2.ru (2;3;-5), Линейные операции над векторами» - student2.ru Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда её точка приложения двигаясь прямолинейно перемещалась из положения Линейные операции над векторами» - student2.ru (5;3;-7) в положение Линейные операции над векторами» - student2.ru .

Ответ: 13.

Задача 6

Даны вершины треугольника: Линейные операции над векторами» - student2.ru Определить его внутренний угол при вершине В.

Ответ: Линейные операции над векторами» - student2.ru

Задача 7

Найти вектор Линейные операции над векторами» - student2.ru коллинеарный вектору Линейные операции над векторами» - student2.ru и удовлетворяющий условию Линейные операции над векторами» - student2.ru

Ответ:(1;1/2;-1/2)

Задача 8

Даны векторы Линейные операции над векторами» - student2.ru

Найти вектор Линейные операции над векторами» - student2.ru удовлетворяющий условию: Линейные операции над векторами» - student2.ruЛинейные операции над векторами» - student2.ru =-5, Линейные операции над векторами» - student2.ruЛинейные операции над векторами» - student2.ru =-11, Линейные операции над векторами» - student2.ruЛинейные операции над векторами» - student2.ru =20.

Ответ: (2;3;-2).

Задача 9

Вычислить проекцию вектора Линейные операции над векторами» - student2.ru с координатами (5;2;5) на ось вектора Линейные операции над векторами» - student2.ru с координатами (2;-1;2)

Ответ: 6.

Задача 10

Даны вектора Линейные операции над векторами» - student2.ru

Вычислить проекцию Линейные операции над векторами» - student2.ru на вектор Линейные операции над векторами» - student2.ru .

Ответ: -4.

Задача 11

Даны точки Линейные операции над векторами» - student2.ru (-2;3;-4), Линейные операции над векторами» - student2.ru (3;2;5), Линейные операции над векторами» - student2.ru (1;-1;2), Линейные операции над векторами» - student2.ru (3;2;-4).

Вычислить проекцию вектора Линейные операции над векторами» - student2.ru на вектор Линейные операции над векторами» - student2.ru .

Ответ: Линейные операции над векторами» - student2.ru .

Задача 12

Вектор Линейные операции над векторами» - student2.ru перпендикулярен вектору Линейные операции над векторами» - student2.ru = 3 Линейные операции над векторами» - student2.ru +2 Линейные операции над векторами» - student2.ru +2 Линейные операции над векторами» - student2.ru и перпендикулярен вектору Линейные операции над векторами» - student2.ru = 18 Линейные операции над векторами» - student2.ru -22 Линейные операции над векторами» - student2.ru -5 Линейные операции над векторами» - student2.ru , модуль х = 14. Вектор Линейные операции над векторами» - student2.ru образует с осью Oу тупой угол. Чему равен вектор Линейные операции над векторами» - student2.ru .

Ответ: (-4;-6;12)

Задача 1

Даны векторы Линейные операции над векторами» - student2.ru = 10, Линейные операции над векторами» - student2.ru = 2, Линейные операции над векторами» - student2.ru = 12.

Найти Линейные операции над векторами» - student2.ru .

Ответ: 16

Задача 2

Даны векторы Линейные операции над векторами» - student2.ru = 3, Линейные операции над векторами» - student2.ru = 26, Линейные операции над векторами» - student2.ru = 72.

Найти Линейные операции над векторами» - student2.ru .

Ответ: Линейные операции над векторами» - student2.ru

Задача 3

Векторы Линейные операции над векторами» - student2.ru и Линейные операции над векторами» - student2.ru образуют угол Линейные операции над векторами» - student2.ru .

Зная, что Линейные операции над векторами» - student2.ru = 1, Линейные операции над векторами» - student2.ru = 2, вычислить:

Линейные операции над векторами» - student2.ru и Линейные операции над векторами» - student2.ru .

Ответ: 3 Линейные операции над векторами» - student2.ru и 10 Линейные операции над векторами» - student2.ru

Задача 4

Даны вектор Линейные операции над векторами» - student2.ru (3;-1;-2) и Линейные операции над векторами» - student2.ru (1;2;-1).

Найти Линейные операции над векторами» - student2.ru Линейные операции над векторами» - student2.ru , Линейные операции над векторами» - student2.ru .

Ответ: 1) (5;1;7), 2) (10;2;14), 3) (20;4;28).

Задача 5

Даны точки А (2;-1;2), В (1;2;-1), С (3;2;1).

Найти координаты векторных произведений Линейные операции над векторами» - student2.ru и ( Линейные операции над векторами» - student2.ru -2 Линейные операции над векторами» - student2.ru ) Линейные операции над векторами» - student2.ru .

Ответ: (6;-4;-6) (-12;8;12).

Задача 6

Даны точки А (1;2;0), В (3;0;-3), С (5;2;6).

Вычислить площадь треугольника АВС.

Ответ: 14

Задача 7

Даны вершины треугольника точки А (1;-1;2), В (5;-6;2), С (1;3;-1). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины В на АС.

Ответ: 5

Задача 8

Вычислить sin угла, образованного векторами Линейные операции над векторами» - student2.ru (2;-2;1), Линейные операции над векторами» - student2.ru (2;3;6).

Ответ: Линейные операции над векторами» - student2.ru .

Задача 1

Вектор Линейные операции над векторами» - student2.ru перпендикулярен векторам Линейные операции над векторами» - student2.ru и Линейные операции над векторами» - student2.ru , угол между которыми Линейные операции над векторами» - student2.ru . Зная, что Линейные операции над векторами» - student2.ru =6, Линейные операции над векторами» - student2.ru =3, Линейные операции над векторами» - student2.ru =3, вычислить смешанное произведение Линейные операции над векторами» - student2.ru

Ответ: Линейные операции над векторами» - student2.ru

Задача 2

Вектора Линейные операции над векторами» - student2.ru , образующие правую тройку взаимно перпендикулярны. Зная, что Линейные операции над векторами» - student2.ru =4, Линейные операции над векторами» - student2.ru =2, Линейные операции над векторами» - student2.ru =3, вычислить смешанное произведение векторов Линейные операции над векторами» - student2.ru

Ответ:24

Задача 3

Установить компланарны ли векторы Линейные операции над векторами» - student2.ru , если

1) Линейные операции над векторами» - student2.ru (2;3;-1), Линейные операции над векторами» - student2.ru (1;-1;3), Линейные операции над векторами» - student2.ru (1;9;-11)

2) Линейные операции над векторами» - student2.ru (3;-2;1), Линейные операции над векторами» - student2.ru (2;1;2), Линейные операции над векторами» - student2.ru (3;-1;-2)

3) Линейные операции над векторами» - student2.ru (2;-1;2), Линейные операции над векторами» - student2.ru (1;2;-3), Линейные операции над векторами» - student2.ru (3;-4;7)

Ответ:

1) Вектора компланарны;

2) Вектора не компланарны;

3) Вектора компланарны.

Задача 4

Доказать, что точки А (1;2;-1), В (0;1;5), С (-1;2;1), D (2;1;3) лежат в одной плоскости.

Задача 5

Вычислить объём тетраэдра, вершины которого находятся в точках:

А (2;-1;1), В (5;5;4), С (3;2;-1), D (4;1;3).

Ответ: 3.

Задача 6

Даны вершины тетраэдра А (2;3;1), В (4;1;-2), С (6;3;7), D (-5;-4;8).

Найти длину его высоты, опущенной из вершины D.

Ответ: 11

Задача 7

Объём тетраэдра равен 5. Три его вершины находятся в точках А (2;1;-1), В (3;0;1), С (2;-1;3).

Найти координаты четвёртой вершины D, если известно, что она лежит на оси OY.

Ответ: Линейные операции над векторами» - student2.ru

Задача 1

Даны уравнения двух сторон параллелограмма : 8х+3у+1=0 и 2х+у-1=0. Уравнение одной из диагоналей 3х+2у+3=0 . Определить координаты вершин параллелограмма.

Ответ:A(1, -3), B(-2, 5), C(5, -9), E(8, -17).

Задача 2

Найти точку Q симметричную точке D (-5; 13) относительно прямой

2х-3у-3=0

Ответ: (11; -11)

Задача 3

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину С (4; -1), а также уравнение высоты: 2х-3у+12=0 и медианы 2х+3у=0, проведённой их первой вершины.

Ответ:

1. уравнение АВ имеет вид 9х+11у+5=0

2. уравнение АС имеет вид 3х+7у-5=0

3. уравнение ВС имеет вид 3х+2у-10=0

Задача 4

Определить при каких значениях m и n, две прямые:

mх+8у+n=0

2x+my-1=0

1) Параллельны

2) Совпадают

3) Перпендикулярны

Ответ:

Линейные операции над векторами» - student2.ru

Линейные операции над векторами» - student2.ru

Линейные операции над векторами» - student2.ru

Задача 5

Определить угол, образованный двумя прямыми:

1) 3х-у+5=0, 2х+у-7=0

2)х Линейные операции над векторами» - student2.ruЛинейные операции над векторами» - student2.ru -2=0, х Линейные операции над векторами» - student2.ru -3у+3=0

Ответ:

· 30о

· 45o

Уравнение плоскости

Задача 1

Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно вектору Линейные операции над векторами» - student2.ru (5;0-3)

Ответ: 5х-3z=0

Задача 2

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Линейные операции над векторами» - student2.ru (3;4;-5) параллельно векторам: Линейные операции над векторами» - student2.ru (3;1;-1); Линейные операции над векторами» - student2.ru (1;-2;1)

Ответ: x+4y+7z+16=0

Задача 3

Установить какие из следующих пар уравнений прямых параллельны плоскости:

1) 2x-3y+5z-7=0; 2x-3y+5z+3=0

2) 4x+2y-4z+5=0; 2x+y+2z-1=0

3) x-3z+2=0; 2x-z-7=0

Ответ:1 – параллельны, 2 – не параллельны, 3 –не параллельны

Задача 4

Определить при каком значении L следующие пары уравнений будут задавать перпендикулярные плоскости:

1) 3х-5у+Lz-3=0; x+3y+2z+5=0

2) 5x+y-3z-3=0; 2x+Ly-3z+1=0

Ответ: 1) L=6; 2) L=-19

Задача 5

Составить уравнение плоскости, которая проходит через Линейные операции над векторами» - student2.ru (3;-2;-7) параллельно плоскости

2x-3z+5=0.

Ответ: 2x-3z-27=0

Задача 6

Составить уравнение плоскости, которая проходит через Линейные операции над векторами» - student2.ru (2;-1;1) перпендикулярно к двум плоскостям:

Линейные операции над векторами» - student2.ru

Ответ: x+2z-4=0

Задача 7

Плоскость проходит, через Линейные операции над векторами» - student2.ru (6;-10;1) и отсекает на оси абсцисс отрезок

а=-3, на оси опликат с=2. Составить для плоскости уравнение в отрезках.

Ответ: Линейные операции над векторами» - student2.ru + Линейные операции над векторами» - student2.ru + Линейные операции над векторами» - student2.ru =1

Задача 8

Найти расстояние от Р(-1;1;-2) до плоскости, проходящей через 3 точки:

1) Линейные операции над векторами» - student2.ru (1;-1;1)

2) Линейные операции над векторами» - student2.ru (-2;1;3)

3) Линейные операции над векторами» - student2.ru (4;-5;-2)

Ответ: 4.

Задача 9

Вычислить объём пирамиды, ограниченной плоскостью 2x-3y+6z-12=0 и координатными плоскастями.

Ответ: 8.

Задача 10

Определить лежит ли точка Q(2;-1;1) и начало координат по одну или по разные стороны относительно каждой из следующих плоскостей:

1) 5x-3y+z=0

2) 2x+7y+3z=0

3) x+5y+12z=0

Ответ:1)по одну сторону

2)по разные стороны

3)по разный стороны

Задача 11

В каждом из следующих случаев вычислить расстояние между параллельными плоскостями:

1) x-2y-2z-12=0, x-2y-2z-6=0

2) 2x-3y+6z-14=0, 4x-6y+12z+21=0

3) 2x-y+2z+9=0, 4x-2y+4z-21=0

Ответ: 1) 2

2) Линейные операции над векторами» - student2.ru

Задача 12

Доказать, что плоскость 3x-4y-2z+5=0 пересекает отрезок, ограниченный точками Линейные операции над векторами» - student2.ru (3;-2;1) и Линейные операции над векторами» - student2.ru (-2;5;2)

Задача 13

Составить уравнение плоскостей, параллельных плоскости 2x-2y-z=0 и относящихся от неё на расстояние d=5.

Ответ: 2x-2y-z+12 или -18=0

Задача 1

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку