Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении

Уравнение прямой, проходящей через т.у А(ха; уа) и имеющей угловой коэффициент k, записывается в виде

у – уа=k (x – xa). (5)

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Уравнение прямой, проходящей через две точки т. А (х1; у1) и т.В (х2; у2), имеет вид

Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru (6)

Если точки А и В определяют прямую, параллельную оси Ох (у1 = у2) или оси Оу (х1 = х2), то уравнение такой прямой записывается соответственно в виде:

у = у1 или х = х1 (7)

Нормальное уравнение прямой

Пусть дана прямая С, проходящая через данную точку Мо(Хо; Уо) и перпендикулярная вектору Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru (А;В). Любой вектор Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru , перпендикулярный данной прямой Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru , называется ее нормальным вектором. Выберем на прямой произвольную т. М(х;у). Тогда Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru , а значит их скалярное произведение Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru . Это равенство можно записать в координатах

А( х-хо )+В( у-уо )=0 (8)

Уравнение (8) называется нормальным уравнением прямой.

Параметрическое и каноническое уравнения прямой

Пусть прямая l задана начальной точкой М00; у0) и направляющим вектором Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru12),. Пусть т. М(х ; у) – любая точка, лежащая на прямой l . Тогда вектор Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru коллинеарен вектору Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru . Следовательно, Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru = Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru . Записывая это уравнение в координатах, получаем параметрическое уравнение прямой

Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru (9)

Исключим параметр t из уравнения (9). Это возможно, так как вектор Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru , и потому хотя бы одна из его координат отлична от нуля.

Пусть Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru и Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru , тогда Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru , Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru и, следовательно,

Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru = Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru . (10)

Уравнение (10) называется каноническим уравнением прямой с направляющим вектором

Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru =(а1; а2). Если а1 =0 и Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru , то уравнения (9) примут вид

Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru .

Этими уравнениями задается прямая, параллельная оси, Оу и проходящая через точку

М00; у0). Каноническое уравнение такой прямой имеет вид

х=х0 (11)

Если Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru , Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru , то уравнения (9) примут вид

Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru

Этими уравнениями задается прямая, параллельная оси Ох и проходящая через точку

М00; у0). Каноническое уравнение такой прямой имеет вид

у=у0 Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru (12)

Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух

Прямых

Пусть даны две прямые, заданные общими уравнениями:

Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru и Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru

Тогда угол φ между ними определяется по формуле:

Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru (13)

Условие параллельности 2-х прямых: Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru (14)

Условие перпендикулярности 2-х прямых: Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru (15)

Условие параллельности в этом случае имеет вид: Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru (17)

Условие перпендикулярности прямых: Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru (18)

Если две прямые заданы каноническими уравнениями:

Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru и Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru

то угол φ между этими прямыми определяется по формуле:

Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru (19)

Условие параллельности прямых: Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru (20)

Условие перпендикулярности прямых: Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru (21)

Расстояние от точки до прямой

Расстояние d от точки М(х1; у1) до прямой Ax+By+C=0 вычисляется по формуле

Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru (22)

Пример по выполнению практической работы

Пример 1. Построить прямую 3х–2у+6=0.

Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru

Решение:Для построения прямой достаточно знать какие-либо две её точки, например, точки её пересечения с осями координат. Точку А пересечения прямой с осью Ох можно получить, если в уравнении прямой принять у=0.Тогда имеем 3х+6=0, т.е. х=-2. Таким образом, А(–2;0).

Тогда В пересечения прямой с осью Оу имеет абсциссу х=0; следовательно, ордината точки В находится из уравнения –2у+6=0, т.е. у=3. Таким образом, В(0;3).

Пример 2. Составить уравнение прямой, которая отсекает на отрицательной полуплоскости Оу отрезок, равный 2 единицам, и образует с осью Ох угол φ =30˚.

Решение: Прямая пересекает ось Оу в точке В (0;–2) и имеет угловой коэффициент k=tg φ= = Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru . Полагая в уравнении (2) k= Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru и b = –2, получим искомое уравнение

Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru или Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru .

Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А (–1; 2) и

В (0;–3). (указание: угловой коэффициент прямой находится по формуле (3))

Решение: Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru .Отсюда имеем Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru . Подставив в это уравнение координаты т.В, получим: Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru , т.е. начальная ордината b = –3 . Тогда получим уравнение Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru .

Пример 4.Общее уравнение прямой 2х – 3у – 6 = 0 привести к уравнению в отрезках.

Решение: запишем данное уравнение в виде 2х – 3у=6 и разделим обе его части на свободный член: Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru . Это и есть уравнение данной прямой в отрезках.

Пример 5.Через точку А (1;2) провести прямую, отсекающую на положительных полуосях координат равные отрезки.

Решение: Пусть уравнение искомой прямой имеет вид Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru По условию а=b. Следовательно, уравнение принимает вид х + у = а. Так как точка А (1; 2) принадлежит этой прямой, значит ее координаты удовлетворяют уравнению х + у = а; т.е. 1 + 2 = а, откуда а = 3. Итак, искомое уравнение записывается следующим образом: х + у = 3, или х + у – 3 = 0.

Пример 6. Для прямой Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru написать уравнение в отрезках. Вычислить площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат.

Решение: Преобразуем данное уравнение следующим образом: Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru , или Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru .

В результате получим уравнение Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru , которое и является уравнением данной прямой в отрезках. Треугольник, образованный данной прямой и осями координат, является прямоугольным треугольником с катетами, равными 4 и 3, поэтому его площадь равна S= Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru (кв. ед.)

Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru

Пример 7. Составить уравнение прямой, проходящий через точку (–2; 5) и образующей с осью Ох угол 45º.

Решение: Угловой коэффициент искомой прямой k= tg 45º = 1. Поэтому, воспользовавшись уравнением (5), получаем у – 5 = x – (–2), или х – у + 7 = 0.

Пример 8. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(–3; 5)и В(7; –2).

Решение: Воспользуемся уравнением (6):

Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru , или Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru , откуда 7х + 10у – 29 = 0.

Пример 9. Проверить, лежат ли точки А(5; 2), В(3; 1) и С(–1; –1) на одной прямой.

Решение: Составим уравнение прямой, проходящей через точки А и С:

Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru , или Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru

Подставляя в это уравнение координаты точки В (хВ= 3 и уВ = 1), получим (3–5) / (–6)= = (1–2) / (–3), т.е. получаем верное равенство. Т. о., координаты точки В удовлетворяют уравнению прямой (АС), т.е. Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru .

Пример 10: Составить уравнение прямой, проходящую через т. А(2;-3).

Перпендикулярную Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru =(-1;5)

Решение: Пользуясь формулой (8), находим уравнение данной прямой -1(х-2)+5(у+3)=0,

или окончательно, х – 5 у - 17=0.

Пример 11: Даны точки М1 (2;-1) и М2(4; 5). Написать уравнение прямой, проходящей через точку М1 перпендикулярно вектору Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru Решение: Нормальный вектор искомой прямой Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru имеет координаты (2;6), следовательно по формуле (8) получим уравнение 2(х-2)+6(у+1)=0 или х+3у +1=0.

Пример 12: Вычислить угол между прямыми Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru и Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru .

Решение: Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru ; Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru .

Пример 13: Выяснить взаимное расположение прямых:

Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru

Решение: а) Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru ;

б) Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru

Пример 14: Вычислить угол между прямыми Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru

Решение: Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru

Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru

Пример 15: Выяснить взаимное расположение прямых:

Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru

Решение: Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru

Пример 16:найти угол между прямыми Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru и Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru .

Решение: Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru .

Пример 17:выяснить взаимное расположение прямых:

а) Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru и Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru ;

б) Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru и Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru .

Решение:а) Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru - прямые параллельны;

б) Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru - значит, прямые перпендикулярны.

Пример 18:Вычислить расстояние от точки М(6; 8) до прямой Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru

Решение: по формуле (22) получим: Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru .

Задания для практического занятия:

Вариант 1

1. Привести общее уравнение прямой 2x+3y-6=0 к уравнению в отрезках и вычислить площадь треугольника, отсекаемого этой прямой от соответствующего координатного угла;

2. В ∆ABC вершины имеют координаты точки А (-3;4), точки В (-4;-3), точки С (8;1). Составить уравнения стороны (AB), высоты (ВК) и медианы (CМ);

3. Вычислить угловой коэффициент прямой, проходящей через точку М0 (-2;4) и параллельной вектору Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru (6;-1);

4. Вычислить угол между прямыми

а) Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru и Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru ; б) Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru и Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru ;

5. Определить взаимное расположение 2-х прямых 2x – 5y – 20 = 0 и 5x + 2y – 10 = 0;

6. Вычислить расстояние от середины отрезка АВ до прямой Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru , если известны координаты концов отрезка т.А(1; 6) и т.В(9; 8).

Вариант 2

1. Привести общее уравнение прямой 3x-4y+12=0 к уравнению в отрезках и вычислить длину отрезка, который отсекается от этой прямой соответствующим координатным углом;

2. В ∆ABC вершины имеют координаты точки А (4;2), точки В (1;5), точки

С (-2;6). Составить уравнения стороны (AB), высоты (ВК) и медианы (CМ);

3. Вычислить угловой коэффициент прямой, проходящей через точку М0 (3;-4) и параллельной вектору Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru (-7;5);

4. Вычислить угол между прямыми:

а) 2x - 3y + 7 = 0 и 3x - y + 5 = 0 ; б) Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru и y = 2x – 4;

5.Определить взаимное расположение 2-х прямых Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru и Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru ;

6. Вычислить расстояние от середины отрезка АВ до прямой Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru , если известны координаты концов отрезка т.А(18;8) и т.В(-2; -6).

Вариант 3

1. Привести общее уравнение прямой 4x-5y+20=0 к уравнению в отрезках и вычислить площадь треугольника, отсекаемого этой прямой от соответствующего координатного угла;

2. В ∆ABC вершины имеют координаты точки А (3;-2), точки В (7;3), точки

С (0;8). Составить уравнения стороны (AB), высоты (ВК) и медианы (CМ);

3. Вычислить угловой коэффициент прямой, проходящей через точку M0 (-1;-2) и

параллельной вектору Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru (3;-5);

4. Вычислить угол между прямыми

а) 3x + y - 7 = 0 и x - y + 4 = 0; б) Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru и Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru ;

5. Определить взаимное расположение 2-х прямых Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru и y = 5x + 3;

6. Вычислить расстояние от середины отрезка АВ до прямой Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru , если известны координаты концов отрезка т.А(4;-3) и т.В(-6; 5).

Вариант 4

1. Привести общее уравнение прямой 12x-5y+60=0 к уравнению в отрезках и вычислить длину отрезка, который отсекается от этой прямой соответствующим координатным углом;

2. В ∆ABC вершины имеют координаты точки А (0;-2), точки В (3;6), точки С (1;-4). Составить уравнения стороны (AB), высоты (ВК) и медианы (CМ);

3. Вычислить угловой коэффициент прямой, проходящей через точку M0(4;4) и параллельной вектору Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru (-2;7);

4.Вычислить угол между прямыми

а) x +4 y + 8 = 0 и 7x - 3y + 5 = 0; б) Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru и Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru ;

5. Определить взаимное расположение 2-х прямых Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru и Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru ;

6. Вычислить расстояние от середины отрезка АВ до прямой Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении - student2.ru , если известны координаты концов отрезка т.А(-4; 8) и т.В(0; 4).

Контрольные вопросы

1. Назовите уравнения прямой на плоскости, когда известны точка, через которую она проходит и ее направляющий вектор;

2. Какой вид имеет нормальное, общее уравнения прямой на плоскости;

3. Назовите уравнение прямой, проходящей через две точки, уравнение прямой в отрезках, уравнение прямой с угловым коэффициентом;

4. Перечислите формулы для вычисления угла между прямыми, заданными уравнениями с угловым коэффициентом. Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

5. Как найти расстояние от точки до прямой?

Наши рекомендации