Аписать уравнение прямой, проходящей через точку А (-2;8) и середину отрезка MN, где М (6; -5), N (-2; 1), используя каноническое уравнение.

Координаты середины векторов вычисляются по формуле:

- где C - координата середины, К - конца, Н - начала:
Пусть середина MN - С, тогда:

А (-2;8); С (2;-2)

Данные точки лежат на одной прямой. Через систему уравнений найдём коэффициенты k и b данной прямой y=kx+b, подставив в неё координаты точек:

8 = -2k+b 8 = -2k-2-2k 4k =-10 k = -2,5

-2 = 2k+b b = -2-2k b =-2-2k b = 3

Для полученной прямой y = -2,5x+3 приведём уравнение:

y = -2,5x+3

2,5х+у-3=0

Ответ: 2,5х+у-3=0

2. Найти пределы:

а) б)

а) = = =

= = = 2

б) =

Разделим числитель и знаменатель на х³

= =

Сделаем замену: u=1/x

= = = -

3. Найти интегралы:

а) ; б) ; в) .

а) = - + = - + 3x + C

б) = 8 = 8 ln x + C

в) = + = +

Пусть u=5x.

Тогда пусть du=5dx и подставим dx=du/5:

+ = + = + sin(u)+C= + sin(5x)+C

4. Исследовать функцию и построить график: у = 3х³ – х

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 3х³ – х.
3⋅ 0³− 0=0

f(0)=0

Точка: (0, 0)

Точки пересечения с осью координат X

График пересекает ось X, когда y равняется 0:
подставляем y = 0 в y=3x³ - x.
3 x³−x =0

x(3 x²−1) =0

x₁=0; (3 x²−1) =0

x₂=

x₃=-

Точки: (0, 0); ( ,0); ( - ,0).

Экстремумы функции

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
f ′(x)=0 (производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
f ′(x)=( 3 x³−x)′ = 9x² – 1
9x² – 1 = 0

Решаем это уравнение, получаем:

x₁=− ;

x₂= .

Значит экстремумы в точках: (− ; ); ( ; - )

Интервалы возрастания и убывания функции.
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимум функции в точке x₁= ;
Максимум функции в точке x₂=− .

Убывает на промежутках ( - ∞; − ] U [∞; )
Возрастает на промежутке [− ; ]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение

f ′′(x)=0 (вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции,
f ′′(x)= (3 x³−x)′′= (9x² – 1)′ = 18x

18x=0

Решаем это уравнение, получаем:

x=0

Интервалы выпуклости и вогнутости.
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[0, ∞)
Выпуклая на промежутках
(-∞, 0]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x→∞ и x→ - ∞
(3x³-x)= - ∞ значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует.
(3x³-x)= ∞ значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует.

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3x³-x, делённой на x при x→∞ и x→ - ∞
= ∞ значит,
наклонной асимптоты слева не существует.
= ∞ значит,
наклонной асимптоты справа не существует.

Чётность и нечётность функции

Проверим чётность и нечётность функции с помощью соотношений

f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
3x³-x = -3x³+x Нет

3x³-x = -(-3x³+x) Нет
значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.

5.Решить дифференциальное уравнение:

у(0)=5

Представим исходное дифференциальное уравнение в виде:

или

Интегрируя обе части, получаем:

ln(y+1) = ln(x+2) + ln(C)
отсюда
y = C (x+2) – 1

Подставляем у(0)=5

5 = C (0+2) – 1

С=(5+1)/2

С=3

Тогда решением дифференциального уравнения будет

y = 3 (x+2) –1

y = 3x+6 – 1

y = 3x+5