Общий случай подвижной границы
Очевидно, что подвижная граница не обязательно должна быть вертикальной прямой: если экстремаль имеет дополнительную степень свободы, то естественно допустить, что она может принадлежать любой кривой (не исключается случай вертикальной и горизонтальной прямой).
Рассмотрим задачу в общей постановке.
Пусть в вариационной задаче об отыскании экстремума функционала
(10)
одна граничная точка фиксирована , а вторая – – может перемещаться по некоторой кривой . Тогда класс кривых, на которых ищется экстремум, расширяется, но вариационная задача остается содержательной. Функционал в этом случае начинает зависеть, вообще говоря, от трех переменных: функции и параметров .
Пусть – экстремаль, удовлетворяющая граничным условиям , ; здесь – вторая граничная точка. В силу необходимого условия экстремума . Вычисляя вариацию функционала (10), получаем:
.
Полагая , получаем, что должно быть выполнено основное необходимое для достижения экстремума в задаче с неподвижными границами условие – функция является решением уравнения Эйлера. Значит, на функции уравнение
обращается в тождество. А тогда в формуле для вариации функционала (10) первое интегральное слагаемое обращается в нуль и вариация приобретает вид
.
Теперь положим , получим следующее условие
,
которому, если (то есть экстремаль пересекает кривую , а не касается ее!), удобнее придать вид:
.
Полученное равенство называется условием трансверсальности.
Аналогичное условие возникнет и на левом конце, если ему разрешить меняться на какой-нибудь кривой.
Замечание. Условию трансверсальности часто удается придать простой геометрический смысл: например, для функционалов вида
(11)
(функция ), имеем:
.
Отсюда следует, что условие трансверсальности эквивалентно требованию
,
что означает ортогональность кривых и в точке их пересечения.
Итак, для решения вариационной задачи с подвижной границей следует:
- Решить уравнение Эйлера, определив тем самым семейство экстремалей, зависящих от двух произвольных постоянных.
- Используя условия жесткого закрепления (если они есть), получитьсоотношение для определения произвольных постоянных.
- С учетом вида множества, которому принадлежит подвижная граница, найти дополнительные соотношения для определения произвольных постоянных.
Пример 7. Исследовать на экстремум функционал
при условии , а вторая граница принадлежит прямой .
Решение. Во-первых, составим и решим уравнение Эйлера. Данный функционал имеет специальный вид: функция не зависит от переменной . Следовательно, уравнение Эйлера допускает первый интеграл
,
представляющий собой дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной. Разрешая его относительно , получаем уравнение в разделяющихся переменных
,
интегральными кривыми которого являются окружности
.
Во-вторых, учтем первое граничное условие . Получим .
В-третьих, множество, которому принадлежит свободная граница, представляет собой кривую, значит, нужно использовать условие трансверсальности, но наш функционал имеет вид (11) и для него, согласно вышеприведенному замечанию, условие трансверсальности совпадает с условием ортогональности. Следовательно, прямая должна быть ортогональна окружности, что возможно только тогда, когда прямая лежит на диаметре окружности .
Значит, центр этой окружности находится в точке (5,0) пересечения прямой с осью .
Итак, экстремалями данной задачи являются две ветви окружности: и (рис.2).