Уравнения Лапласа и Пуассона

Уравнение

(1.110)

называется уравнением Пуассонав трехмерном пространстве. Если в этом уравнении , то оно называется уравнением Лапласа:

.

(1.111)

Если ввести оператор , называемый оператором Лапласа, то уравнения (1.110) и (1.111) запишутся соответственно

и .

К исследованию уравнений Лапласа и Пуассона приводит рассмотрение задач о стационарном процессе: это задачи гидродинамики, диффузии, фильтрации, распределения температуры, электростатики и др.

Эти уравнения относятся к уравнениям эллиптического типа.

Те задачи, которые приводят к уравнениям, содержащим время, называются динамическими или нестационарными задачами математической физики; задачи, приводящие к уравнениям, не содержащим время, называются стационарнымиили статическими.

О постановке задачи математической физики

И ее корректности

Как было показано, уравнения математической физики имеют бесчисленное множество решений, зависящее от двух произвольных функций (речь идет об уравнениях второго порядка для функции двух переменных). Для того, чтобы из множества решений выделить определенное, характеризующее процесс, необходимо на искомую функцию наложить дополнительные условия, которые диктуются физическими соображениями. Тут можно провести аналогию с обыкновенными дифференциальными уравнениями, когда для выделения из общего решения частного, удовлетворяющего некоторым дополнительным условиям, отыскивались по этим условиям произвольные постоянные. Таковыми условиями для уравнений в частных производных являются, чаще всего, начальные и граничные условия. Граничные условия – это условия, заданные на границе рассматриваемой среды; начальные условия – условия, относящиеся к какому-нибудь моменту времени, с которого начинается изучение данного физического явления. Дополнительные условия,

так же как и само дифференциальное уравнение, должны вводиться на основе физических соображений, связанных с самим процессом. Вместе с тем дополнительные условия должны быть такими, чтобы обеспечить выделение из всего множества решений единственного решения. Число граничных и начальных условий определяется типом уравнения, а их вид – заданным исходным состоянием на границе объекта и внешней среды. Для рассматриваемых нами уравнений число начальных условий равно порядку старшей производной по времени, входящей в уравнение, а число граничных условий – порядку старшей производной по координате.

Совокупность дифференциального уравнения и дополнительных условий представляет собой математическую формулировку физической задачи и называется задачей математической физики.

Физическая задача решается по схеме:

1) реальный физический процесс (явление, объект) заменяется некоторым идеальным процессом (явлением, объектом) так, что последний значительно проще первого и вместе с тем сохраняет его основные черты (идеализация процесса);

2) выбирается величина (функция), характеризующая процесс, и используются законы, по которым он происходит;

3) на основании выбранных законов выводится дифференциальное уравнение для величины, характеризующей процесс;

4) выводятся дополнительные условия – начальные и граничные – также в соответствии с выбранными законами.

Итак, задача математической физики состоит в отыскании решений уравнений в частных производных, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям, скажем, граничным и начальным.

Задача математической физики считается поставленной корректно, если решение задачи, удовлетворяющее всем ее условиям, существует, единственно и устойчиво; последнее означает, что малые изменения любого из данных задачи вызывают малое изменение решения. Требование устойчивости необходимо по следующей причине. В данных любой конкретной задачи, особенно если они получены из опыта, всегда содержится некоторая погрешность, и нужно, чтобы малая погрешность в исходных данных приводила к малой неточности в решении. Это требование выражает физическую определенность поставленной задачи.

Примеры

ПРИМЕР 2.36. Выяснить, являются ли приведенные ниже равенства дифференциальными уравнениями в частных производных:

а) ,

б) .

Решение. Преобразуем уравнение а)

.

Данное уравнение является уравнением в частных производных, так как в него входят частные производные второго порядка

и .

Уравнение б) не является уравнением в частных производных, так как в него входит только функция . Действительно, раскрывая , получим

ПРИМЕР 2.37. Выяснить, какие из следующих уравнений являются линейными (однородными или неоднородными) и какие нелинейными:

а) ,

б) ,

в) .

Решение. Сравнивая данные уравнения с формой (1.4), заключаем, что

- уравнение а) есть неоднородное линейное уравнение второго порядка, для которого ;

- уравнение б) нелинейное, так как оно не является линейным относительно старших частных производных;

- уравнение в) является однородным линейным уравнением третьего порядка.

ПРИМЕР 2.38. Решить уравнение .

Решение. Ясно, что искомая функция не зависит от переменной , но может быть любой функцией от : , поскольку, дифференцируя по , получим ноль, а это значит, что данное равенство выполняется. Таким образом, решение уравнения содержит одну произвольную функцию .

ПРИМЕР 2.39. Решить уравнение , где заданная функция.

Решение. Интегрируя по , восстановим искомую функцию

, где произвольная функция.

Итак, решение уравнений в примерах 2.38 и 2.39 содержат одну произвольную функцию . Такое решение называется общим. В отличие от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, которое содержит одну произвольную постоянную, решение уравнения в частных производных первого порядка содержит одну произвольную функцию.

ПРИМЕР 2.40. Решить уравнение .

Решение. Перепишем уравнение так: . Положим , после чего данное уравнение принимает вид . Как было установлено в примере 2.38, общее решение последнего уравнения имеет вид: , где произвольная функция. Исходное уравнение примет вид: . Проинтегрировав полученный результат по , получим

, иначе

,

где и произвольные дважды дифференцируемые функции.

Легко проверить, что найденная функция удовлетворяет данному уравнению.

Итак, решение уравнения в частных производных второго порядка содержит уже две произвольные функции. Такое решение называют общим.

Приведенные в качестве примеров уравнения дают основание сделать заключение: общее решение уравнения в частных производных первого порядка содержит одну произвольную функцию, а общее решение уравнения второго порядка – две произвольные функции. В этом заключается коренное отличие общего решения уравнения в частных производных от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения, которое содержит одну и две произвольные постоянные.

В дальнейшем будет выяснено, какие дополнительные условия надо задать, чтобы с их помощью можно было выделить частное решение, т. е. функцию, удовлетворяющую как уравнению, так и дополнительным условиям.

2.17 КЛАССИФИКАЦИЯ И ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

ВТОРОГО ПОРЯДКА

Все многообразие линейных относительно старших производных (или просто линейных) уравнений может быть разделено на три класса (типа). В каждом классе есть простейшие уравнения, которые называются каноническими. Решения уравнения одного и того же типа (класса) имеют много общих свойств. Для изучения этих свойств достаточно рассмотреть канонические уравнения, так как другие уравнения данного класса могут быть приведены к каноническому виду.

Классификация уравнений вида (2.52) проводится в соответствии со знаком дискриминанта .

Говорят, что уравнение (1.3) в области принадлежит

а) гиперболическому типу, если ,

б) параболическому типу, если ,

в) эллиптическому типу, если .

Уравнение вида

(2.54)

называется каноническим уравнением гиперболического типа.

Второй канонический вид уравнения гиперболического типа таков:

(2.55)

Уравнение вида

(2.56)

называется каноническим уравнением параболического типа.

Уравнение вида

(2.57)

называется каноническим уравнением эллиптического типа.

Дифференциальное уравнение

(2.58)

называется характеристическим уравнением для уравнения (2.52), а его общие интегралы и характеристиками.

Характеристики линейного уравнения (2.52) используются для приведения его к каноническому виду. Уравнение (2.52) в каждой из областей, где сохраняется знак дискриминанта , приводится к эквивалентному уравнению, а именно к каноническому, путем введения вместо переменных и новых переменных и с помощью зависимостей

.

Для уравнения гиперболического типа характеристическое уравнение имеет два интеграла, т.е. существуют два семейства действительных характеристик

и ,

и потому следует сделать замену переменных, положив

,

в результате чего исходное уравнение преобразуется к уравнению (2.54) (или к уравнению (2.55) после дополнительной замены , где и новые переменные).

Для уравнения параболического типа характеристическое уравнение имеет один действительный интеграл, т.е. одну характеристику , и потому полагают

,

где произвольная функция, например, . После такой замены уравнение приводится к виду (2.56).

Для уравнения эллиптического типа общие интегралы характеристического уравнения имеют вид

,

где функция, принимающая комплексные значения, а и действительные функции действительных переменных. С помощью подстановок

уравнение (2.52) приводится к каноническому виду (2.57).

После выбора новых переменных и требуется преобразовать производные, входящие в данное уравнение, к новым переменным. Напомним, что первые производные по старым переменным и выражаются через производные по новым переменным и по известным формулам дифференцирования сложной функции двух переменных:

.

Вторые производные находятся путем дифференцирования выражений для и по правилу дифференцирования сложной функции.

Так как для каждого типа канонических уравнений разработаны определенные методы как аналитического, так и численного решения, то задача приведения уравнений (2.52) к каноническому виду представляет практический интерес.

Заметим, что в различных областях тип одного и того же уравнения (2.52) может быть различным.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2.41. Определить тип уравнения

и привести его к каноническому виду.

Решение. Составим выражение . В данном случае , , тогда . Отсюда следует, что данное уравнение – уравнение гиперболического типа во всех точках плоскости, кроме лежащих на осях и . Оси координат являются линиями параболичности. Следовательно, уравнение можно привести к каноническому виду (2.54) в каждом из координатных углов. Составим характеристическое уравнение:

откуда получаем .

Интегрируя последние уравнения, получаем

и .

Сделаем замену: .

Выразим частные производные по старым переменным через частные производные по новым переменным:

,

.

Аналогично найдем

.

Подставим найденные и в исходное уравнение, и после приведения подобных получим

или .

Запишем теперь коэффициенты полученного уравнения в новых переменных. Из равенств и выразим , .