Кривые второго порядка на плоскости

Уравнение вида Ах²+2Вху+Су²+2Dх+2Еу+F=0 называется общим уравнением кривой второго порядка. Коэффициенты уравнения – действительные числа, причем хотя бы одно из чисел А,В,С отлично от нуля. Такое уравнение определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу.

В табл. 2 приведены уравнения кривых второго порядка и определен смысл входящих в них коэффициентов.

Таблица 2

№ п/п	Определение кривой	Вид уравнения	Примечание
	Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис.4)	- каноническое уравнение эллипса	2а – большая ось; 2b – малая ось 2с–межфокус-ное расстояние с2=а2-b2; - эксцентриси-тет, 0<e<1. Т. А1,А2,В1,В2 – вершины эллипса
	Гипербола – множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис.5)	- каноническое уравнение гиперболы	2а–действи-тельная ось; 2b–мнимая ось; 2с –меж-фокусное расстояние с2=а2+b2; - эксцентри-ситет, e>1. Точки А1,А2 – вершины гиперболы. Прямые - асимптоты
3.	Парабола - множество точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директриссой. Рис.6б 6б 31 х F х2=2py	у2=2px – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОХ     x2=2pу – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОY (рис.6б)	F - фокус, ди-ректриса. Точка (0;0) – вершина параболы (рис.6а)   F - фокус, ди-ректриса. Точка (0;0) – вершина параболы (рис.6б)

1. Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 36х²+100у²=3600.

Решение:

Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:

36х²+100у²=3600, поделим обе части уравнения на 3600:

, a²=100, b²=36.

F_л(-с,0) – левый фокус;

F_п(с,0) – правый фокус;

С= .

F_л(-8,0); F_п(8,0).

Эксцентриситет: .

Ответ: F_л(-8,0); F_п(8,0); =0,8.

2.Написать уравнение прямой, проходящей через левую вершину эллипса 16х²+25у²=400 и точку М₀(1;-3) (рис.7).

у

Решение:

-4

-5

М

х

М0

Рис. 7

Приведем уравнение 16х²+25у²=400 к каноническому виду.

, a²=25, b²=16.

Левая вершина эллипса (-а,0)Þ(-5,0). Обозначим М(-5,0). Составим уравнение прямой, проходящей через точки М₀ и М:

.

Ответ: .

3. Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус гиперболы 9х²-16у²=144 и параллельно прямой 3х-2у+6=0 (рис.8).

Решение:

-3

-4

FП

х

у

Рис.8

Приведем уравнение 9х²-16у²=144 к каноническому виду , a²=16, b²=9.

Правый фокус гиперболы F_п(с,0);

С= .

Итак, F_п(5,0).

1-й способ.

Условие параллельности двух прямых: k₁=k₂.

Пусть уравнение искомой прямой имеет вид y=k₂x+b₂;

3х-2у+6=0;

2у=3х+6;

у=(3/2)х+3;

k₁=3/2Þk₂=3/2.

Значит, y=(3/2)x+b₂ проходит через точку F_п(5,0), то 0=(3/2)5+b₂Þb₂=-15/2. Итак, Û3x-2у-15=0.

2-й способ.

Искомая прямая проходит через точку F_л(5,0) параллельно прямой 3х-2у+6=0. Из общего уравнения заданной прямой определяем вектор нормали , который будет являться нормалью и для параллельной ей искомой прямой. Пользуемся уравнениемА(х-х₀)+В(у-у₀)=0, 3(х-5)-2(у-0)=0, 3х-2у-15=0.

Ответ: 3х-2у-15=0.

4. Написать уравнение прямой l, проходящей через нижнюю вершину эллипса 4х²+20у²=80, перпендикулярно прямой 2х-у+1=0 (рис.9).

М

-2

y

l

х

Рис. 9

Решение:

Приведем уравнение к каноническому виду 4х²+20у²=80,

, a²=20, b²=4.

Нижняя вершина имеет вид: М(0;-b)=М(0;-2).

1-й способ.

Условие перпендикулярности двух прямых: k₁k₃=-1.

2х-у+1=0

у=2х+1Þk₁=2.

Пусть уравнение прямой имеет вид: y=k₂x+b₂;

k₂=-1: k₁Þk₂=-1/2,

Так как прямая проходит через точку М(0;-2), то .

Итак, Þх+2у+4=0.

2-й способ.

По условию задачи требуется написать уравнение прямой l, проходящей через точку М(0;-2) перпендикулярно прямой 2х-у+1=0. Из общего уравнения прямой определяем координаты вектора нормали . Несложно представить (рис.9), что если искомая прямая l перпендикулярна заданной, то вектор параллелен искомой прямой, т.е. является ее направляющим вектором. Используя уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀,у₀) параллельно вектору , получим:

. У нас ; ;

-х=2у+4, х+2у+4=0.

Ответ: х+2у+4=0.

5. Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус эллипса под углом 45˚ к оси Ох.

Решение:

a²=16, b²=25.

Правый фокус эллипса имеет вид F_п(с,0);

С= .

Итак, F_п(3,0).

Так как прямая проходит под углом 45˚ к оси Ох, то k=tgα=tg45˚=1.

Пусть уравнение искомой прямой имеет вид: y=kx+b;

k=1Þy=x+b.

Так как прямая проходит через точку F_п(3,0), то 0=3+bÞb=-3.

Значит, y=x-3.

Ответ: y=x-3.

Плоскость в пространстве

Любое уравнение первой степени в трехмерном пространстве определяет какую-либо плоскость.

Разным способам задания плоскости соответствуют различные виды уравнений (табл. 3.)

Таблица 3

№ п/п	Вид уравнения	Смысл входящих в уравнение коэффициентов	Примечание
	Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0	(x0,y0,z0) – координаты заданной точки; АВС – координаты заданного вектора	Вектор N(А,В,С) называется нормальным вектором плоскости
	Общее уравнение плоскости Ах+Ву+Сz+D=0	D=-Ax0-By0-Cz0, АВС – нормальный вектор плоскости;	Это уравнение получается из уравнения (1) эле-ментарными
№ п/п	Вид уравнения	Смысл входящих в уравнение коэффициентов	Примечание
		х0,y0,z0 – координаты данной точки	преобразованиями
	Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки	М1(х1,y1,z1), М2(х2,y2,z2), М3(х3,y3,z3) – три точки, заданные своими координатами	Точки М1, М2, М3 не должны лежать на одной прямой
	Уравнение плоскости в отрезках на осях	а,b,c – отрезки, отсекаемые плоскостью от осей координат	аbc≠0

Пусть даны две плоскости a₁ и a₂:

a₁: А₁х +В₁у+С₁z+D₁=0,

a₂: А₂х +В₂у+С₂z+D₂=0.

Угол между двумя плоскостями определяется как .

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

=0, то есть =0.

Условие параллельности двух плоскостей:

или .

Расстояние от точки до плоскости:

,

где Ах+Ву+Сz+D=0 – заданная плоскость; М(x₀,y₀,z₀) – данная точка.

Примеры решения типовых задач

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(-1;1,3) перпендикулярно вектору .

Решение:

Найдем координаты вектора : О(0;0;0); М(-1;1;3) Þ

{-1;1;3}.

Уравнение плоскости имеет вид:

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

А=-1, В=1, С=3 – координаты вектора нормали.

X₀=-1, y₀=1, z₀=3.

-1(х+1)+1(у-1)+3(z-3)=0

-х-1+у-1+3z-9=0

-х+у+3z-11=0.

Ответ: -х+у+3z-11=0.

2.Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М₁(1;-1;3), М₂(2;-1;0), М₃(4;2;-1).

Решение:

Уравнение плоскости, проходящей через три точки имеет вид:

,

,

9(х-1)-5(у+1)+3(z-3)=0

9х-9-5у-5+3z-9=0

9х-5у+3z-23=0.

Ответ: 9х-5у+3z-23=0.

3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(-2;7;3) параллельно плоскости х-4у+5z+1=0 (рис.10).

{1;-4;5}

y ZXYueG1sTI/BTsMwEETvSPyDtUhcqtYhqG6bZlOhSlzgABQ+wIndJMJeh9hN3b/HPcFxNKOZN+Uu WsMmPfreEcLDIgOmqXGqpxbh6/N5vgbmgyQljSONcNEedtXtTSkL5c70oadDaFkqIV9IhC6EoeDc N5220i/coCl5RzdaGZIcW65GeU7l1vA8ywS3sqe00MlB7zvdfB9OFuHl7X12yaOY/ayW9T5OaxNf vUG8v4tPW2BBx/AXhit+QocqMdXuRMozgyA2eUoizFfArrZ4TNdqhOVGAK9K/p+/+gUAAP//AwBQ SwECLQAUAAYACAAAACEAtoM4kv4AAADhAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlw ZXNdLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQA4/SH/1gAAAJQBAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC8BAABfcmVs cy8ucmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQAxJKdT8wEAAOsDAAAOAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMv ZTJvRG9jLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQBhKIaV3QAAAAcBAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAE0EAABk cnMvZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABADzAAAAVwUAAAAA " strokecolor="black [3040]"/>

М0(-2;7;3)

Рис. 10

Решение:

Нормальный вектор для плоскости х-4у+5z+1=0 {1;-4;5} является нормальным для искомой плоскости. Так как плоскость проходит через точку М₀(-2;7;3), то уравнение плоскости имеет вид:

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0;

1(х+2)-4(у-7)+5(z-3)=0;

х+2-4у+28+5z-15=0;

х-4у+5z+15=0.

Ответ: х-4у+5z+15=0.

4. Найти расстояние от точки М₀(1;-1;3) до плоскости 13х+2у- -5z+1=0.

; х₀=1; у₀=-1; z₀=3.

А=13; В=2; С=-5, D=1.

.

Ответ: d= .

5. Найти угол между плоскостями х+у-1=0 и 2х-у+3z-1=0.

Решение:

Угол между плоскостями определяем как угол между нормалями к этим плоскостям. Из общих уравнений плоскостей определяем координаты нормалей {1;1;0}, {2;-1;3}.

.

.

Ответ: .

Прямая в пространстве.

Прямая и плоскость

Различным способам задания прямой в пространстве соответствуют разные виды ее уравнений, основные из которых представлены в табл. 4.

Таблица 4

№ п/п	Вид уравнения	Смысл входящих в уравнение коэффициентов	Примечание
	Канонические уравнения прямой	(x0,y0,z0) – координаты точки М0, лежащей на прямой; m,n,p – координаты вектора, параллельного прямой	Вектор называется направля-ющим вектором прямой
	Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки	(x1,y1,z1), (x2,y2,z2) – координаты двух заданных точек	Уравнение является обобще-нием уравнения прямой на плоскости
	Уравнения прямой как линии пересечения двух плоскостей	- уравнение одной плоскости; - уравнение второй плоскости	Уравнения иначе назы-ваются общими уравне-ниями прямой в простран-стве

Пусть заданы две прямые своими каноническими уравнениями:

l₁:

l₂: .

Угол между прямыми определяется как .

Условие перпендикулярности прямых:

=0.

Условие параллельности прямых:

.

Пусть плоскость a задана уравнением Ах+Ву+Сz+D=0, а прямая l – своими каноническими уравнениями , тогда угол между прямой и плоскостью определяется как

.

Условие параллельности прямой и плоскости Аm+Bn+Cp=0.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

.

Примеры решения типовых задач

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(2,4,-3) перпендикулярно прямой (рис.11).

Решение:

{5;-1;2}

М(2;4;-3)

Рис. 11

Чтобы написать уравнение плоскости A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0, необходимо знать координаты любой точки, лежащей в плоскости (у нас это точка М(2;4;-3)), и координаты вектора, перпендикулярного плоскости. Так как прямая перпендикулярна плоскости, то ее направляющий вектор {5;-1;2} можно взять в качестве вектора-нормали к плоскости. Теперь запишем уравнение искомой плоскости:

5(х-2)-1(у-4)+2(z+3)=0;

5х-10-у+4+2z+6=0;

5х-у+2z=0.

Ответ: 5х-у+2z=0.

2. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(2;4;-3) перпендикулярно плоскости 3х-2у+5z-1=0 (рис.12).

Решение:

{-3;-2;5}

М(2;4;-3)

Рис.12

Чтобы написать канонические уравнения прямой в пространстве , необходимо знать координаты любой точки М(х₀,у₀,z₀), через которую проходит прямая (у нас эта точка М(2;4;-3)), и координаты направляющего вектора {m;n;p}(вектора, параллельного прямой). Так как прямая перпендикулярна плоскости, то она параллельна вектору нормали к плоскости. Следовательно, определив из уравнения плоскости координаты вектора нормали {-3;-2;5}, возьмем его в качестве направляющего вектора прямой. Теперь запишем каноническое уравнение искомой прямой

.

Ответ: .

3. Написать уравнения прямой, проходящей через точку М₀(2;-3;-4) параллельно прямой .

Решение:

Уравнение прямой будем искать в виде , где

x₀,y₀,z₀ – координаты точки, через которую проходит прямая (у нас это точка М₀(2;-3;-4)), {m;n;p} – направляющий вектор прямой. Так как искомая прямая параллельна заданной прямой, у них один и тот же направляющий вектор. Найдем направляющий вектор прямой, заданной в условии общими уравнениями. Общие уравнения прямой задают, как линию пересечения двух плоскостей (рис.13).

М0(2;-3;-4)

Рис.13

Из общих уравнений плоскостей определяем координаты их нормалей {1;1;-1} и {1;-1;2}. Заметим, что направляющий вектор ^ и ^ , следовательно, вектор можно найти как векторное произведение и .

´ = .

{1;-3;-2} – направляющий вектор искомой прямой. Тогда канонические уравнения прямой имеют вид: .

Ответ: .

4. Написать уравнение плоскости, проходящей через пару параллельных прямых и (рис. 14).

Решение:

Рис.14

l di54bWxMj8FOwzAQRO9I/IO1SFwq6qSlaRTiVKgSFzgAhQ9wkiWJsNchdlP379me4Da7M5p9W+6i NWLGyQ+OFKTLBARS49qBOgWfH093OQgfNLXaOEIFZ/Swq66vSl207kTvOB9CJ7iEfKEV9CGMhZS+ 6dFqv3QjEntfbrI68Dh1sp30icutkaskyaTVA/GFXo+477H5PhytgufXt8V5FbPFz3ZT7+Ocm/ji jVK3N/HxAUTAGP7CcMFndKiYqXZHar0wCtabLSd5n69BXPwsZVGzSJN7kFUp/39Q/QIAAP//AwBQ SwECLQAUAAYACAAAACEAtoM4kv4AAADhAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlw ZXNdLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQA4/SH/1gAAAJQBAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC8BAABfcmVs cy8ucmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQCja3s/8gEAAOkDAAAOAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMv ZTJvRG9jLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQAFPDDL3gAAAAkBAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAEwEAABk cnMvZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABADzAAAAVwUAAAAA " strokecolor="black [3040]"/>

Чтобы написать уравнение плоскости в виде A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0, необходимо знать координаты любой точки М₀(x₀,y₀,z₀), лежащей в плоскости, и координаты вектора {А,В,С}, перпендикулярного плоскости.

Из уравнений прямых определяем координаты точек М₁(2;1;0) и М₂(-1;1;3), лежащих на прямых, а следовательно, и в искомой плоскости. В качестве М₀(x₀,y₀,z₀) можем взять любую из них.

Теперь ищем вектор нормали. Заметим, что направляющий вектор прямых {4;-2;1} параллелен плоскости, а следовательно, ^ . Вектор лежит в плоскости, следовательно, . Тогда = .

={-1-2;1-1;3-0}={-3;0;3}.

= = .

Итак, {-6;-15;-6} – нормальный вектор плоскости. Подставим координаты вектора и координаты любой из точек М₁ или М₂ в уравнение плоскости A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0, получим: -6(х-2)- -15(у-1)-6(z-0)=0 (мы подставили точку М₁(2;1;0)).

2(х-2)+5(у-1)+2(z-0)=0;

2х-4+5у-5+2z=0;

2х+5у+2z-9=0.

Ответ: 2х+5у+2z-9=0.

5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М₁(-1;0;2) и М₂(3;2;1) перпендикулярно плоскости α: 2х-3у+z-5=0.

Решение:

Рис.15

Ищем уравнение плоскости β в виде A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0 (рис.15). Нам необходимо иметь координаты любой точки, лежащей в плоскости (у нас их две М₁ и М₂), и координаты вектора нормали. Так как вектора нормали в условии задачи нет, следует найти любые два вектора, ортогональные нормали. Тогда их векторное произведение даст нам нормаль. На рис.15 видно, что и . Координаты вектора {2;-3;1}определяются из уравнения плоскости α. Найдем координаты вектора .

={3-(-1);2-0;1-2}={4;2;-1}.

= .

Подставляем координаты вектора {1;6;16} и координаты любой из точек М₁ и М₂ (мы возьмем М₁(-1;0;2)) в уравнение плоскости, получим:

1(х+1)+6(у-0)+16(z-2)=0;

х+6у+16z-31=0;

Ответ: х+6у+16z-31=0.

6. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку М(2;3;-4).

Решение:

М1(1;0;-2)

М(2;3;-4)

Рис.16

Чтобы написать уравнение плоскости A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0, необходимо знать координаты точки, лежащей в плоскости (у нас точка М(2;3;-4)), и координаты вектора нормали .

В условии задачи нет вектора нормали, но мы заметим (рис. 16), что направляющий вектор прямой {2;-1;3}^ и вектор . Тогда . Определив из уравнений прямой координаты точки М₁(1;0;-2), найдем вектор ={1-2;0-3;-2-(-4)}={-1;-3;2}.

= . Теперь запишем уравнение искомой плоскости:

7(х-2)-7(у-3)-7(z+4)=0;

7х-14-7у+21-7z-28=0;

7х-7у-7z-21=0;

х-у-z-3=0.

Ответ: х-у-z-3=0.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Написать уравнение прямой, отсекающей на оси Оу отрезок b=3 и составляющей с осью Ох угол 45˚.

Ответ: у=-х+3.

2. Написать уравнение прямой, параллельной и перпендикулярной к прямой 2х+у+1=0 и проходящей через точку А(1;4).

Ответ: 2х+у-6=0, х-2у+7=0.

3. Найти расстояние от начала координат до прямой 6х+8у+20=0.

Ответ: 2.

4. Найти угол между прямыми у=2х-3 и .

Ответ: arctg(2/4).

5. Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что его большая полуось а=12, эксцентриситет равен 0,5. Найти расстояние между фокусами.

Ответ: .

6. Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что: а) расстояние между фокусами равно 10, между вершинами равно 8; б) вещественная полуось равна 2Ö5, эксцентриситет равен Ö1,2.

Ответ: а) б) .

7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(-1;2;3) перпендикулярно вектору .

Ответ: х-2у-3z+14=0.

8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М₁(3;-1;2), М₂(4;-1;-1), М₃(2;0;2).

Ответ: 3х+3у+z-8=0.

9. Найти угол между плоскостями х+у-1=0 и 2х-у+ z+1=0.

Ответ: arcos(1/4).

10. Найти расстояние от точки М(2;-1;-1) до плоскости 16х+12у+15z-4=0.

Ответ: 1.

11. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости 3х+3у-z+1=0.

Ответ: 6х-5у+3z-11=0.

12. Написать уравнение прямой, проходящей через точки А(-1,2,3) и В(2,6,-2).

Ответ: .

13. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (-4;3;0) параллельно прямой .

Ответ: .

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основная

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике/ Д.Т. Письменный. – 6-е изд. М.: Айрис-пресс, 2006.-288с.

2. Минорский, В.П. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособ. для втузов/ В.П. Минорский. – М.: Физматлит., 2004.

Дополнительная

1. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2005. – 242с.

2. Лунку, К.Н. Сборник задач по высшей математике/ К.Е. Лунку. – М.: Айрис-пресс, 2009. – 592с.

Высшая математика. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия: методические указания и примеры решения типовых задач для студентов I курса очной формы обучения инженерно-технических направлений (I семестр)

Ольшевская Наталия Андреевна

Цуленева Галина Георгиевна

Сенько Ксения Александровна

Научный редактор А.И.Гореленков

Редактор издательства Л.И. Афонина

Компьютерный набор А.П. Левкина

Темплан. 2012г,п. 59

Подписано в печать Формат 60´84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 2,9 Уч.-изд. л. 2,9 Т. 40экз. Заказ бесплатно

Брянский государственный технический университет

241035, г. Брянск, бульвар им. 50-летия Октября, 7, БГТУ, 58-82-49.

Лаборатория оперативной полиграфии БГТУ, ул. Институтская, 16.