Решение систем линейных алгебраических уравнений
МЕТОД ГАУССА
Вопросы
1. Как выглядит матрица ступенчатого вида. Приведите схему. Какие элементы этой матрицы называются угловыми.
2. В чем суть метода Гаусса.
3. В чем заключается обратный ход метода Гаусса.
4. В чем заключается преобразование со строками матрицы системы I типа.
5. В чем заключается преобразование со строками матрицы системы II типа.
6. Формулы Крамера для решения системы 3-х линейных уравнений.
7. Когда можно найти решение СЛАУ по формулам Крамера.
8. Формула для нахождения обратной матрицы.
Метод Гаусса заключается приведении СЛАУ к ступенчатому виду(прямой ход)и последовательном нахождении неизвестных(обратный ход). Поясним смысл метода на системе 3-х уравнений с 3-мя неизвестными.
.
Прямой ход.
Допустим, что 
(если 
, то меняем порядок уравнений, выбрав первым такое уравнение, в котором коэффициент при x не равен нулю).
Первый шаг: делим уравнение (1) на 
, умножаем полученное уравнение на – 
и прибавляем к (2); затем умножаем на – 
и прибавляем к (3). В результате первого шага переходим к системе
.
Причем 
получаются из 
по следующим формулам:
.
Второй шаг: поступаем с уравнениями (5), (6) точно так же, как с уравнениями (1), (2), (3) и т. д. В итоге исходная система преобразуется
Из преобразованной системы все неизвестные определяются последовательно без труда (обратный ход).
Пример решения задачи.
Решить систему методом Гаусса.
Прямой ход.
Разделим первое уравнение на 2 . Получим
.
Умножаем 1-е уравнение на –3 и прибавляем ко 2-му, получаем второе уравнение в виде:
.
Умножая 1-е уравнение на –2 и прибавляем 3-ему, третье уравнение получаем в виде
.
Умножим полученные уравнения на –1 и поменяем местами.
Получаем преобразованную систему уравнений. Далее действуем аналогично.
Разделим второе уравнение на 6; умножим его на –11 и прибавим к третьему.
.
Обратный ход. Из последней системы находим последовательно решение системы
; 
.
Проверка
1) 
.
.
8 = 8.
2) 
.
132 - 80 - 48 = 4.
4 = 4.
3) 
.
88 - 32 - 48 = 8.
8 = 8.
Ответ: x = 44; y = 16; z = - 24.
МЕТОД КРАМЕРА
Пусть дана СЛАУ третьего порядка:
,
где
– матрица коэффициентов системы.
Метод Крамера можно использовать только при условии 
.
Тогда решение системы может быть найдено по формулам Крамера:
; 
; 
,
где
– основной определитель. Он составлен из коэффициентов перед неизвестными.
; 
; 
– дополнительные определители. Они получаются из основного определителя путем замены 1, 2 и 3 столбца столбцом свободных членов (соответственно).
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
Квадратная матрица 
называется обратной для матрицы А, если выполняется следующее соотношение
,
где Е – единичная матрица.
Например: 
Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от 0. Если определитель матрицы равен 0, она называется вырожденной.
Всякая невырожденная матрица
имеет обратную матрицу
,
где 
– алгебраическое дополнение элемента 
матрицы А.
Чтобы найти матрицу, обратную данной, необходимо:
1) вычислить определитель данной матрицы (убедится, что );
2) найти алгебраические дополнения ее элементов ;
3) составить матрицу 
из алгебраических дополнений , взятых в том же порядке, что и элементы в матрице А;
4) матрицу транспонировать, т. е. поменять местами строки и столбцы: 
;
5) каждый элемент матрицы 
разделить на определитель матрицы А. Полученная матрица является обратной для матрицы А.
Пример выполнения задачи
Найти матрицу , обратную матрице А
.
Вычислим определитель (иначе – детерминант) матрицы А и алгебраические дополнения ее элементов:
.
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
.
Составляем матрицы 
и 
:
;
.
Следовательно,
.
Для контроля вычислений покажем, что 
:
.