Решение систем линейных алгебраических уравнений
(СЛАУр)
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
. (1)
Если хотя бы одно из чисел не равно нулю, то такая система называется неоднородной.Если же , то такая система называется однородной.
Решением системы (1) называется упорядоченная совокупность чисел , которая при подстановке в систему обращает все уравнения системы в верные равенства.
Если система имеет решение, то она называется совместной, если не имеет решения – то несовместной.Если система имеет единственное решение, то она называется определенной, если более одного решения, то – неопределенной.
Формулы Крамера для решения СЛАУр
Если определитель системы 
, то эта система имеет единственное решение, которое можно получить по формулам Крамера. Формулы Крамера имеют вид
,
где
.
В знаменателях этих формул стоит определитель системы 
, а в числителях – определители, которые получаются из определителя системы заменой коэффициентов при соответствующих неизвестных столбцом свободных членов.
Пример 1.
Решить систему по формулам Крамера.
Решение
Формулы Крамера: . Вычислим определители:
,
, тогда
, , .
Итак, , , .
Ранг матрицы
Пусть дана матрица .
Рангом матрицы называется наибольший из порядков отличных от нуля ее миноров. Обозначение: rang A, r(А) или r.
Очевидно, – меньшее из чисел m и n.
Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. Вычисление всех миноров отличных от нуля трудоемкая операция. На практике для вычисления r(A) используют метод Гаусса.
Элементарными преобразованиями называются следующие действия над матрицами:
1. Вычеркивание нулевой строки.
2. Умножение какой либо строки на число.
3. Прибавление к одной из строк другой строки, умноженной на любое число.
4. Перестановка двух столбцов или двух строк.
Теорема 1.Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.
Рассмотрим матрицу специального вида
в которой все «диагональные элементы» 
отличны от нуля, а все элементы расположенные ниже диагональных, равны нулю. Такую матрицу будем называть трапециевидной. При r = n она будет треугольной.
Теорема 2.Ранг трапециевидной матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Теорема 3.Всякую матрицу можно с помощью конечного числа элементарных преобразований привести к трапециевидному виду.
Метод Гаусса вычисления ранга матрицы состоит в приведении матрицы к трапециевидному виду и в подсчете ее ненулевых строк.
Пример 2.
Найти ранг матрицы .
Решение
~ ~
На первом шаге первую строку матрицы умножили на (-2) и сложили со второй строкой, умножили первую строку на (-4) и сложили с третьей строкой. На втором шаге вторую строку умножили на (-3) и сложили с третьей строкой. Нулевую строку вычеркнули. Таким образом, ранг матрицы r = 2.