Решение систем линейных алгебраических уравнений

(СЛАУр)

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Решение систем линейных алгебраических уравнений - student2.ru . (1)

Если хотя бы одно из чисел Решение систем линейных алгебраических уравнений - student2.ru не равно нулю, то такая система называется неоднородной.Если же Решение систем линейных алгебраических уравнений - student2.ru , то такая система называется однородной.

Решением системы (1) называется упорядоченная совокупность чисел Решение систем линейных алгебраических уравнений - student2.ru , которая при подстановке в систему обращает все уравнения системы в верные равенства.

Если система имеет решение, то она называется совместной, если не имеет решения – то несовместной.Если система имеет единственное решение, то она называется определенной, если более одного решения, то – неопределенной.

Формулы Крамера для решения СЛАУр

Если определитель системы Решение систем линейных алгебраических уравнений - student2.ru , то эта система имеет единственное решение, которое можно получить по формулам Крамера. Формулы Крамера имеют вид

Решение систем линейных алгебраических уравнений - student2.ru ,

где

Решение систем линейных алгебраических уравнений - student2.ru .

В знаменателях этих формул стоит определитель системы Решение систем линейных алгебраических уравнений - student2.ru , а в числителях – определители, которые получаются из определителя системы Решение систем линейных алгебраических уравнений - student2.ru заменой коэффициентов при соответствующих неизвестных столбцом свободных членов.

Пример 1.

Решить систему Решение систем линейных алгебраических уравнений - student2.ru по формулам Крамера.

Решение

Формулы Крамера: Решение систем линейных алгебраических уравнений - student2.ru . Вычислим определители:

Решение систем линейных алгебраических уравнений - student2.ru ,

Решение систем линейных алгебраических уравнений - student2.ru , тогда

Решение систем линейных алгебраических уравнений - student2.ru , Решение систем линейных алгебраических уравнений - student2.ru , Решение систем линейных алгебраических уравнений - student2.ru .

Итак, Решение систем линейных алгебраических уравнений - student2.ru , Решение систем линейных алгебраических уравнений - student2.ru , Решение систем линейных алгебраических уравнений - student2.ru .

Ранг матрицы

Пусть дана матрица Решение систем линейных алгебраических уравнений - student2.ru .

Рангом матрицы называется наибольший из порядков отличных от нуля ее миноров. Обозначение: rang A, r(А) или r.

Очевидно, Решение систем линейных алгебраических уравнений - student2.ru – меньшее из чисел m и n.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. Вычисление всех миноров отличных от нуля трудоемкая операция. На практике для вычисления r(A) используют метод Гаусса.

Элементарными преобразованиями называются следующие действия над матрицами:

1. Вычеркивание нулевой строки.

2. Умножение какой либо строки на число.

3. Прибавление к одной из строк другой строки, умноженной на любое число.

4. Перестановка двух столбцов или двух строк.

Теорема 1.Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.

Рассмотрим матрицу специального вида

Решение систем линейных алгебраических уравнений - student2.ru

в которой все «диагональные элементы» Решение систем линейных алгебраических уравнений - student2.ru отличны от нуля, а все элементы расположенные ниже диагональных, равны нулю. Такую матрицу будем называть трапециевидной. При r = n она будет треугольной.

Теорема 2.Ранг трапециевидной матрицы равен числу ее ненулевых строк.

Теорема 3.Всякую матрицу можно с помощью конечного числа элементарных преобразований привести к трапециевидному виду.

Метод Гаусса вычисления ранга матрицы состоит в приведении матрицы к трапециевидному виду и в подсчете ее ненулевых строк.

Пример 2.

Найти ранг матрицы Решение систем линейных алгебраических уравнений - student2.ru .

Решение

Решение систем линейных алгебраических уравнений - student2.ru ~ Решение систем линейных алгебраических уравнений - student2.ru ~ Решение систем линейных алгебраических уравнений - student2.ru

На первом шаге первую строку матрицы умножили на (-2) и сложили со второй строкой, умножили первую строку на (-4) и сложили с третьей строкой. На втором шаге вторую строку умножили на (-3) и сложили с третьей строкой. Нулевую строку вычеркнули. Таким образом, ранг матрицы r = 2.

Наши рекомендации