Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения

Если Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru неизвестно, то доверительный интервал для оценки Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru имеет вид:

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru

где Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru - объем выборки; Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru - исправленное среднее квадратическое отклонение:

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru , Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru – квантили Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru – распределения, определяемые по таблице Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru ([1], Приложение 5)

при Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru и Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru , Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru .

Пример.Для оценки параметра Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru нормально распределенной случайной величины была сделана выборка объема в 25 единиц и вычислено Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru .

Найти доверительный интервал, покрывающий Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru с вероятностью Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru .

Имеем Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru , Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru .

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru

Доверительный интервал имеет вид:

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru или Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru .

2. Другой вид доверительного интервала для оценки Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru нормального распределения имеет вид:

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru при Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru ;

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru при Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru ;

где Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru - исправленное среднее квадратическое отклонение;

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru находим по таблице значений ([1], Приложение 4).

Пример.Для оценки параметра нормально распределенной случайной величины была сделана выборка объема в 25 единиц и вычислено Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru .

Найти доверительный интервал, покрывающий Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru с вероятностью Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru .

Имеем Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru , Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru , Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru

По таблице значений Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru находим Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru .

Доверительный интервал имеет вид:

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru или Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru .

Замечание. Доверительные интервалы в примерах 8 и 9 получили разные при одинаковых данных, но они с вероятностью Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru покрывают среднее квадратическое отклонение Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru .

Типовые задачи

Дан статистический ряд нормально распределенной случайной величины Х, где х – масса тушек бройлера.

xi 1,7 1,5 1,2 1,8 1,6 1,4 0,9
fi

Найти: среднее арифметическое; среднее квадратическое; моду; медиану; размах вариации; дисперсию; среднее квадратическое отклонение; коэффициент вариации.

Построить полигон распределения, гистограмму и кумуляту.

Решение

xi – конкретное значение признака X.

fi – число единиц (частоты) совокупности с данным значением признака(частот).

1. Для нахождения числовых характеристик необходимо ранжировать ряд (по возрастанию).

Ранжируем ряд:

0,9 0,9 0,9 1,2 1,2 1,2 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,5 1,5 1,6 1,6 1,6 1,6 1,6 1,6 1,6 1,7 1,7 1,7 1,7 1,7 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8 2,0

2. Составим Табл.1 и будем вносить в неё данные по мере выполнения необходимых расчетов (выполним округление до второго знака после запятой).

Табл. 1

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru
0,9 2,7 -0,62 0,38 1,14 1,86
1,2 3,6 -0,32 0,10 0,3 0,96
1,4 -0,12 0,01 0,05 0,6
1,5 -0,02 0,0004 0,0008 0,04
1,6 11,2 0,08 0,006 0,04 0,56
1,7 8,5 0,18 0,03 0,15 0,9
1,8 10,8 0,28 0,08 0,48 1,68
2,0 0,48 0,23 0,23 0,48
Сумма 48,8     2,39 7,08

Числа, показывающие, сколько раз отдельные варианты встречаются в данной совокупности – частотывариант f.

Общая сумма частот вариационного ряда равна объему данной совокупности

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru

где k – число групп; n – общее число наблюдений, или объем совокупности.

3. Необходимо определить вариацию средней массы тушек бройлера по всей совокупности. Вариация массы тушек бройлера определяется с помощью средней арифметической.

Получим:

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru = Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru

Средняя масса тушек бройлера составляет 1,52 кг.

4. Для измерения вариации применяют различные показатели, из которых основными являются размах вариации (лимит), среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Размах вариации определяется как разница между наибольшим и наименьшим значениями признака.

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения - student2.ru

где xmin, xmax- минимальное и максимальное значение признака.

Получим:

R = 2,0 – 0,9 = 1,1

xmin = 0,9

xmax = 2,0

Среднее линейное отклонение - средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных вариант от средней арифметической:

Наши рекомендации