Если все частоты ряда распределения увеличить или уменьшить в постоянное число раз, то значения дисперсии и среднего квадратического отклонения от этого не изменятся

Данное свойство позволяет рассчитывать дисперсию и среднее квадратическое отклонение, используя относительные частоты (частости). Например, по формуле:

где .

Кроме того дисперсия ряда с равными частотами может определяться по формуле для несгруппированных данных.

1. Дисперсия равна среднему квадрату всех вариантов ряда минус квадрат средней арифметической величины.

4. Общая дисперсия равна средней арифметической из частных (внутригрупповых) дисперсий плюс дисперсия частных средних (межгрупповая дисперсия).

Общая дисперсия совокупности определяется по формуле:

где − порядковый номер частной совокупности; − порядковые номера вариантов и соответствующих им частот внутри каждой из групп.

Частные (внутригрупповые) дисперсии рассчитываются по формуле:

где − объем й частной совокупности (численность группы); а общая численность совокупности

Межгрупповая дисперсия (дисперсия частных средних − ) определяется по следующей формуле:

где − объем й частной совокупности (численность группы); а общая численность совокупности

Свойства дисперсии и среднего квадратического отклонения используются в упрощенной методике расчета этих показателей, в основе которой положена формула дисперсии:

Расчет показателя дисперсии средней заработной платы сотрудников фирмы упрощенным способом

Среднемесячная заработная плата, тыс руб.,	Число работников,				Условный фонд заработной платы,
2,5		-5,0	-1		-2
7,5
12,5		5,0
17,5		10,0
22,5		15,0
Итого

Расчет осуществляется от условного нуля, за который принят вариант с максимальной частотой тыс руб.

Полученные результаты сокращены на наибольший общий делитель тыс руб. Частоты также поддаются сокращению на величину наибольшего общего делителя .

Условное значение средней арифметической взвешенной равно:

Условное значение среднего квадрата:

Условное значение дисперсии:

Условное значение дисперсии пересчитывается в соответствии с ее свойствами по формуле , среднее квадратическое отклонение среднемесячной заработной платы сотрудников фирмы составило: (тыс руб)

Результат, таким образом, совпадает с величиной среднего квадратического отклонения полученной прямым способом расчета.

Средняя арифметическая величина и дисперсия альтернативного признака

Оценка вариации альтернативного признака представляет интерес сама по себе, так как в реальной действительности имеется множество социально-экономических явлений, относящихся к этой категории.

Наличие изучаемого свойства у конкретной единицы совокупности принято в статистике обозначать единицей, а его отсутствие нулем. Соответственно, единицу и ноль можно рассматривать как варианты ряда распределения альтернативного признака.

Если численность изучаемой совокупности обозначить как , а число единиц, обладающих признаком, как , то у единиц искомый признак отсутствует. Таким образом, и являются частотами ряда распределения альтернативного признака. Однако для расчета средней арифметической и дисперсии альтернативного признака используются частости:

§ − доля единиц совокупности, обладающих изучаемым признаком;

§ − доля единиц совокупности, изучаемым признаком не обладающих.