Стереометрия. Круглые тела, тела вращения.

1º. Прямым круговым цилиндром (или просто цилиндром) называется тело, образованное вращением прямоугольника вокруг оси, содержащей его сторону. Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник, стороны которого равны длине окружности основания цилиндра и его высоте.

Если обозначить за R – радиус основания, H – его высоту, l – образующую, S_бок – площадь боковой поверхности, V – объем, то:

; .

2º. Прямым круговым конусом (или просто конусом) называется тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей его катет. Развертка боковой поверхности конуса является круговым сектором.

Если обозначить за R – радиус основания, H – его высоту, l – образующую, S_бок – площадь боковой поверхности, V – объем, то:

; .

3º. Сферой называется множество точек пространства, находящихся на данном расстоянии от данной точки, называемой центром этой сферы.

Шаром называется множество точек пространства, расстояние от каждой из которых до данной точки (центра шара) не превосходит данного расстояния R (радиуса шара).

Если обозначить за R – радиус шара (сферы), S – площадь сферической поверхности, V – объем, то:

; .

4º. Шаровой сегмент – часть шара, отсекаемая от него плоскостью.

Если обозначить за R – радиус шара, h – высоту сегмента, S – площадь сферической поверхности сегмента, V – объем, то:

; .

5º. Шаровой сектор – часть шара, ограниченная конической поверхностью с вершиной в центре шара и поверхностью шара.

Если обозначить за R – радиус шара, h – высоту сегмента, V – объем, то:

Пример 52. Площадь осевого сечения прямого кругового цилиндра равна 24. Найти площадь его боковой поверхности.

1) 2) 24π 3) 72 4) 68 5)

Решение.

Указание. При решении задач на «круглые тела» можно ограничиться изображением осевого сечения тела.

Пусть прямоугольник ABCD – осевое сечение данного цилиндра. Тогда по условию задачи его площадь равна: . Но .

Ответ: 24π (№2 – правильный ответ).

Пример 53. Образующая прямого кругового конуса равна 4 и наклонена к плоскости основания под углом 30º. Найти объем конуса.

1) 8π 2) 6π 3) 4π 4) 10π 5) 12π.

Решение.

Пусть равнобедренный треугольник ABC – осевое сечение данного конуса. По условию задачи образующая BC конуса равна 4, т.е. , кроме того, и OB – радиус основания конуса. Обозначим: . Тогда из ΔOBC найдем: , высота конуса равна в ΔOBC половине гипотенузы , т.е. . По формуле объема конуса:

.

Ответ: (№1 – правильный ответ).

Дидактический материал.

1. Найти диаметр шара, если его объем равен .

1) 8 2) 3) 9 4) 3π 5) 7

2. Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра равна , а его объем равен 17. Найти высоту цилиндра.

1) 272 2) 68π 3) 262 4) 5) 208

3. В конус вписан шар радиуса 2 см. Угол между образующей конуса и его высотой равен 30º. Боковая поверхность конуса равна:

1) 24π см² 2) 4π см² 3) 16π см² 4) 18π см² 5) 20π см²

4. Пусть шар вписан в усеченный конус, радиус меньшего основания которого равен 10 см, а радиус большего основания – 14 см. Тогда площадь поверхности шара равна:

1) 48π см² 2) 280π см² 3) 144π см² 4) 560π см² 5) 16π см²

5. Расстояние между тремя точками сферы равны 26, 24 и 10 см, а площадь сферы 900π см², тогда расстояние от проходящей через них плоскости до центра сферы равно:

1) 2) 56 3) 56π 4) 5) .

6. Найти площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра, если его образующая равна 18, а площадь оснований 36π.

1) 126π 2) 90π 3) 72π 4) 108π 5) 216π

7. Если образующая конуса равна 6 см, а угол при вершине осевого сечения равен 60º, то площадь поверхности шара, вписанного в этот конус, равна:

1) 12π см² 2) 6 см² 3) см² 4) 18π см² 5) см²

8. В сферу радиуса 10см вписан конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом 45º. При этом площадь боковой поверхности конуса равна:

1) см² 2) см² 3) см² 4) см² 5) см².

9. Шар, площадь поверхности которого равна 144π см², вписан в усеченный конус, образующая которого равна 20 см. При этих условиях площадь меньшего основания усеченного конуса равна:

1) 2π см² 2) 4π см² 3) см² 4) см² 5) см².

10. В сферу вписан прямоугольный параллелепипед с измерениями 6 см, 3 см и 2 см. Тогда радиус сферы равен:

1) 4 см 2) 3 см 3) 6 см 4) 2,5 см 5) 3,5 см.