Тема: Вычисление определенных интегралов

Цель:Формирование навыков вычисления определенного интеграла при помощи формулы Ньютона – Лейбница

На выполнение работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Функция, Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru интегрируемая на промежутке Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , если при любых разбиениях Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru промежутка Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , таких, что Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru при произвольном выборе точек Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru (где Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ), сумма Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru при Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru стремится к пределу Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

Предел Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru называют определенным интегралом от функции Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru на промежутке Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и обозначают Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , то есть Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru . (15.1)

Число Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru называется нижним пределом интеграла, Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru - верхним. Промежуток Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru называется промежутком интегрирования, Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru - переменной интегрирования.

Для вычисления определенного интеграла от функции Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , служит формула Ньютона – Лейбница: Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru . (15.2). То есть определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Примеры

Вычислить следующие определенные интегралы:

1) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ; 2) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ; 3) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

Решение: 1) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ; 2) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ;

3) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru

Задания для практической работы

Вычислите определенные интегралы:

1) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ; 2) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ; 3) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ; 4) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ; 5) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru

6) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru 7) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ; 8) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ; 9) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ;

10) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ; 11) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ; 12) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ; 13) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

Контрольные вопросы:

1. Что называется интегральной суммой для функции на отрезке?

2. Дайте определение определенного интеграла.

3. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

4. В чем заключается суть формулы Ньютона – Лейбница?

5. Сформулируйте теорему о среднем.

6. Перечислите основные методы интегрирования для определенного интеграла.

7. Запишите формулы, которые соответствуют вышеперечисленным методам интегрирования.

Рекомендуемая литература: 11.1[с. 271-282], 1.2[с. 205-212], 1.3[с. 374-396],2.2[с. 247-250].

Практическая работа №16

Тема: Вычисление площадей фигур с помощью определенных интегралов

Цель: Формирование навыков вычисления площадей фигур с помощью определенных интегралов

Время выполнения: 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Определенный интеграл широко применяется при вычислениях различных геометрических фигур и физических величин.

Найдем площадь Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru криволинейной трапеции, ограниченной кривой Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , осью Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и двумя прямыми Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , где Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru (рис.2).

Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru

Рисунок 2 - Трапеция, ограниченная кривой Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , осью Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и двумя прямыми Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , где Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

Так как дифференциал переменной площади Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru есть площадь прямоугольника с основанием Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и высотой Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , то есть Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , то, интегрируя это равенство в пределах от Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru до Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , получим Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru основанием Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и высотой Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , то есть Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , то, интегрируя это равенство в пределах от Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru до Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , получим Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

Если криволинейная трапеция прилегает к оси Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru так, что Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru (рис.3), то дифференциал переменной площади Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru равен Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , откуда Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru

           
    Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru
 
 
Рисунок 3 -Трапеция, прилегает к оси Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru так, что Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru
 
Рисунок 4 - Трапеция, ограниченная кривой Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , осью Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и прямыми Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru лежит под осью Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru

Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru

Рисунок 5 - Трапеция, ограниченная кривой Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , осью Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и прямыми

Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , расположена по обе стороны от оси Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

В том случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , осью Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и прямыми Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , лежит под осью Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru (рис.4), площадь находится по формуле Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

Если фигура, ограниченная кривой Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , осью Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и прямыми Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , расположена по обе стороны от оси Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru (рис. 5), то Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru

Рисунок 6 - Трапеция, двумя пересекающимися кривыми

Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , прямыми Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

Пусть фигура Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ограничена двумя пересекающимися кривыми Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , и прямыми Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , где Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru (рис. 6) Тогда ее площадь находится по формуле Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

Примеры

Задание: Вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru (рис. 7).

Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru

Рисунок 7 - Фигура, ограниченная указанными линиями

Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

Решение: Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru квадратичная функция; Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ; график – парабола, ветви направлены вверх.

Найдемкоординаты вершины параболы:

Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , отсюда следует, что Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru . Таким образом, вершина параболы имеет координаты: Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru . Найдем площадь полученной фигуры:

Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

Ответ: Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru

Задания для практической работы

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и осью абсцисс.

2. Найдите площадь фигуры, заключенной между осями координат и прямыми Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной ветвью гиперболы Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и прямыми Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , прямыми Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и осью абсцисс.

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , осями координат и прямой Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

6. Найдите площадь фигуры, заключенной между прямыми Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

7. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

8. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

9. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

10. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

Контрольные вопросы:

1. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, находящейся над осью Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ?

2. По какой формуле вычисляется площадь фигуры прилегающей к оси Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ?

3. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, находящейся под осью Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ?

4. По какой формуле вычисляется площадь фигуры расположенной по обе стороны оси Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ?

5. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, ограниченной двумя пересекающимися кривыми?

Рекомендуемая литература: 1.1[с. 271-281], 1.2[с. 205-212], 1.3[с.395-395],2.2[с. 247-250].

Практическая работа №17

Тема: Нахождение области определения и вычисление частных значений для функции нескольких переменных

Цель: Формирование навыков нахождения области определения и вычисления частных значений для функции нескольких переменных

Время выполнения: 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Уравнение

Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru (неявная форма) (17.1)

или

Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru (явная форма) (17.2)

определяет переменную Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru как функцию Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru независимых переменных Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru . Областью определения функции Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru переменных является множество точек Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru -мерного пространства, в которых функция принимает определенное действительное значение.

При Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru уравнение (17.1) определяет функцию трех переменных

Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru или Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , (17.3)

Областью определения, которой является множество точек Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru трехмерного пространства Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

При Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru уравнение (17.1) определяет функцию двух переменных

Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru или Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru . (17.4)

Частным значением Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru функции Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru называется такое ее значение, которое соответствует системе значений Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru . (17.5)

Примеры

Задание 1: Найти области определения функций:

1) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ; 2) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

Решение: 1) Область определения функции состоит из всех точек Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru плоскости, для которых Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , то есть Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru . Таким образом, искомая область есть круг с центром в начале координат и радиусом 1. она является замкнутой, так как включает свою границу – окружность Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

2) Так как логарифм определен только при положительных значениях аргумента, то Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , откуда Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru . Следовательно, областью определения данной функции служит внутренняя часть круга с центром в начале координат и радиусом 3. эта область открытая, поскольку она не включает свою границу – окружность Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

Задание 2: Найти частное значение функции Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru в точке Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

Решение: Подставляя в выражение функции значения Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , получим Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

Задания для практической работы

1. На плоскости Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru постройте область изменения переменных Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , заданные нижеследующими неравенствами. Укажите тип области.

1) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ; 2) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ;

3) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ; 4) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

2. Найдите области определения функций и укажите, что будет являться областью определения:

1) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ; 2) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ; 3) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ;

4) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ; 5) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ; 6) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

3. Вычислите частные значения функций:

1) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru при Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ;

2) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru в точке Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru ;

3) Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru при Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru и Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

4. Дана функция Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru . Вычислите Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru , Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru .

Контрольные вопросы:

1. Что называется функцией нескольких переменных?

2. Что называется областью определения функции Тема: Вычисление определенных интегралов - student2.ru переменных?

3. Что называется частным значением функции двух переменных?

4. Что называется границей области?

5. Какая область называется замкнутой, а какая открытой?

Рекомендуемая литература: 1.2[с. 438-439], 2.1[с. 192-204], 2.2[с. 151-166].

Практическая работа №18

Наши рекомендации