Кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса

Кинематическим анализом называется изучение движения звеньев без учета сил, обуславливающих это движение.

Кинематический анализ механизмов предусматривает решение трех основных задач:

1) определение положения звеньев и траекторий отдельных точек механизма;

2) определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев механизма;

3) определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев механизма.

Решение этих задач может быть выполнено графическим или аналитическим методами. Графический метод имеет меньшую точность по сравнению с аналитическим, но является более наглядным.

При графическом методе кинематического анализа первая задача решается методом планов положений, вторая – методом планов скоростей и третья – методом планов ускорений механизма. Рассмотрим применение этих методов на конкретных примерах.

2.1. Метод плана положений

Для решения задачи необходимо построить последовательные положения механизма (планы положений механизма), число которых определяется требуемой точностью результатов кинематического анализа. В рассматриваемом курсе строится одно положение механизма, в зависимости от исходных данных в задании. Кинематическую схему механизма вычерчивают в масштабе, используя масштабный коэффициент длины звеньев кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru .

Под масштабным коэффициентом понимают число, показывающее сколько единиц некоторой величины изображает 1 мм чертежа.

Действительные длины звеньев (см. рис. 1.3) условимся обозначать буквой кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru с индексом названия звена, например кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru . Длины этих же звеньев, изображенных на кинематической схеме в масштабе, будем обозначать кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru .Таким образом, масштабный коэффициент длины звеньев кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru определяется формулой:

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru . (2.1)

При построении кинематической схемы механизма в масштабе длину отрезка кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru выбирают самостоятельно, в соответствии с форматом чертежа. После определения масштабного коэффициента длины звеньев кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , величины остальных отрезков определяют формулой:

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru . (2.2)

За начальное положение механизма выбирается положение, когда угол поворота кривошипа 1 равен нулю (рис. 2.1).

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru

Рис. 2.1.Кинематическая схема механизма в начальном положении

Пример №2.Построить по исходным данным план положения механизма, представленного на рис. 1.3.

Дано: кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , направление вращения кривошипа – против хода часовой стрелки.

Решение:

Принимаем при построении длину кривошипа кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru . Тогда масштабный коэффициент длины по формуле (2.1) будет равен:

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru .

Длину отрезка кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru определим по формуле (2.2): кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru .

Строим кинематическую схему механизма (рис. 2.2)

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru

Рис. 2.2. Кинематическая схема механизма в заданном положении

2.2. Метод планов скоростей

Сущность графического метода построения планов скоростей и ускорений основана на использовании векторных уравнений, связывающих скорости, а также ускорения отдельных точек звеньев механизма с последующим их решением графическим путем.

Составим векторные уравнения, связывающие скорости точек звеньев механизма (рис. 2.2). Звено 1 совершает вращательное движение вокруг неподвижной стойки 0. Скорость точки А определяется формулой:

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru . (2.3)

Вектор кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru перпендикулярен (ОА) и направлен в сторону вращения кривошипа, т.е. по кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru .

Точка В совершает плоскопараллельное движение. По теореме о сложении скоростей скорость точки Bнаходится как сумма скорости полюса и скорости точки В во вращательном движении вокруг полюса:

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , (2.4)

где кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – вектор относительной скорости точки B во вращательном движении вокруг полюса A;

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – вектор скорости точки В относительно стойки О.

Вектор скорости кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru перпендикулярен шатуну 2 и определяется по формуле:

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru ,

где кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – угловая скорость шатуна 2 (она пока неизвестна).

Поскольку ползун В относительно стойки движется поступательно, то вектор скорости кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru лежит на прямой, параллельной движению ползуна (в нашем случае параллельно (ОВ)). Строим в общем виде план скоростей для положения механизма, представленного на рис.2.2 (см. рис. 2.3).

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru

Рис. 2.3. План скоростей механизма

При построении планов скоростей используют масштабный коэффициент скорости кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , который определяется формулой:

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , (2.5)

где кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – значение скорости точки А, полученное по формуле (2.3);

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – расстояние на плане скоростей от полюса кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru до точки а (выбирается самостоятельно в соответствии с форматом чертежа, мм).

Для определения численного значения скорости точки В, воспользуемся формулой:

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , (2.6)

где кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – расстояние на плане скоростей от полюса кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru до точки b (мм).

Угловую скорость движения шатуна 2определяем по формуле:

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , (2.7)

где кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – величина отрезка, взятого из плана скоростей (мм).

На планах скоростей и ускорений принято скорости и ускорения точек обозначать маленькими латинскими буквами.

При проведении кинематического анализа рычажных механизмов необходимо построить планы скоростей для всех последовательных положений механизма.

2.3. Теорема подобия для плана скоростей

Теорема. Отрезки прямых линий, соединяющие концы векторов абсолютных скоростей точек на плане скоростей, и отрезки прямых линий, соединяющие одноименные точки на плане механизма, образуют подобные и сходственно расположенные фигуры. Фигура на плане скоростей повернута на 90° относительно фигуры на плане механизма.

Доказательство. Построим в общем виде план скоростей для механизма, изображенного на рис. 2.4а.

1. Найдем скорость точки А: кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru . Вектор кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru перпендикулярен кривошипу ОА и направлен в сторону его вращения.

2. Определим скорость точки В. Шатун 2 совершает плоскопараллельное движение. На основании теоремы о скоростях точек тела, совершающих такое движение, составим векторное равенство: кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , где кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – скорость точки В относительно точки A во вращательном движении шатуна 2 вокруг А; следовательно, вектор кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru перпендикулярен отрезку АВ. Одновременно точка В принадлежит ползуну 3, совершающему возвратно-поступательное движение вдоль оси Ох; следовательно, вектор кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru параллелен оси Ох.

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru

Рис. 2.4

3. Построим план скоростей (рис. 2.4б):

– из произвольной точки кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru проведем луч, перпендикулярный ОА, в направлении вращения кривошипа 1 и отложим на нем отрезок кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru произвольной длины;

– через точку а проведем прямую, перпендикулярную АВ, а через полюс кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – прямую, параллельную оси Ох;

– на пересечении этих прямых получим точку b. Вектор кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – скорость точки В в масштабе кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru .

4. Определим скорость точки С шатуна 2. На основании теоремы о скоростях точек тела, совершающего плоскопараллельное движение, составим два векторных равенства:

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru ; кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru ,

где кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru –скорость точки С, относительно точки А во вращательном движении шатуна 2 вокруг А; следовательно, вектор кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru перпендикулярен отрезку АС;

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – скорость точки С, относительно точки В во вращательном движении шатуна 2 вокруг В; следовательно, вектор кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru перпендикулярен отрезку ВС.

5. На плане скоростей через точку а проведем прямую, перпендикулярную АС, а через точку b – прямую, перпендикулярную ВС. Их пересечение дает точку с.

В результате построений мы получили на плане скоростей треугольник abc, подобный треугольнику АВС плана механизма. Признак подобия – взаимная перпендикулярность сторон. Таким образом, п.4 и 5 являются непосредственным доказательством теоремы подобия для плана скоростей.

Соединим точку с с полюсом плана скоростей. Вектор кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – скорость точки С в масштабе кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru .

Пример №3. Построить по исходным данным план скоростей механизма, представленного на рис. 2.5а и определить скорости всех указанных точек, а также угловые скорости звеньев.

Дано: кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru .

Построить план скоростей механизма и определить: кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru .

Решение:

Скорость точки А определяем по формуле (2.3):

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru .

На плане скоростей строим отрезок кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru . Тогда масштабный коэффициент скорости по формуле (2.5) будет равен: кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru .

По теореме о сложении скоростей скорость точки B равна кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru . Из точки а на плане скоростей проводим луч, перпендикулярный АВ, соответствующий вектору скорости кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , а из полюса кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru проводим луч, параллельный ОВ, т.е. параллельный ходу движения ползуна, соответствующий вектору скорости кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru . Точка пересечения лучей b соответствует концу вектора скорости точки В. Строим план скоростей (рис 2.5б).

Для того чтобы определить численное значение точки В, воспользуемся формулой (2.6):

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru .

Найдем скорости остальных точек. Поскольку все точки звеньев совершают плоскопараллельное движение, то воспользуемся теоремой подобия для плана скоростей. Рассмотрим точку S2. Она принадлежит звену 2 и делит шатун АВ посередине. На плане скоростей точка s2 также будет делить отрезок аb пополам. Расстояние от полюса кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru до s2 и будет определять скорость точки S2.

Точка С тоже принадлежит звену 2 и расположена на расстоянии кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru . На плане скоростей она так же будет отстоять от точка а на расстоянии кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru . Соединяем полюс и точку с – этот и есть вектор скорости точки С.

Рассмотрим точку D. Она принадлежит звену 1. Порядок определения скорости точки Dаналогичен точке С. План скоростей построен.

После определения направлений скоростей точек на плане скоростей, определим численное значение скоростей точек аналогично определению численного значения скорости точки В:

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru ,

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru ,

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru .

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru

Рис. 2.5

Угловую скорость движения шатуна 2определяем по формуле (2.7):

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru .

Проверим правильность построения плана скоростей (рис. 2.5в). Для того чтобы узнать направления скоростей точек звена 2, построим мгновенный центр скоростей (МЦС): направление и значение скорости точки А нам известно, а также известна траектория движения ползуна В. По направлению вектора скорости точки А определяем направление угловой скорости шатуна 2 – кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru . Соединив МЦС с точками S2 и С, находим направления векторов скоростей этих точек, согласно направлению кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru . Направление скорости точки D перпендикулярно кривошипу 1 и направлено в сторону его вращения.

Из построений видно, что направления векторов скоростей обоих методов совпадают.

2.4. Метод планов ускорений

Для построения плана ускорений для заданного на рис. 2.2 положения механизма составим векторные уравнения, связывающие ускорения точек звеньев механизма.

Ускорение точки А принадлежащей кривошипу 1, вращающегося с постоянной угловой скоростью кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru определяется формулой:

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , (2.8)

где кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – вектор нормального ускорения точки А;

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – вектор касательного ускорения точки А.

Нормальное ускорение всегда направлено от точки к центру вращения (в нашем случает от точки А к центру О) и определяется формулой:

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru . (2.9)

Касательное ускорение всегда направлено по касательной к траектории движения точки и выражается формулой:

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , (2.10)

где кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – угловое ускорение кривошипа 1.

По условию задачи кривошип вращается равномерно, т.е. кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , следовательно, здесь (и в последующих примерах) его угловое ускорение равно нулю: кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru .

Подставляя (2.9) и (2.10) в уравнение (2.8) получаем:

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru . (2.11)

При построении планов ускорений используют масштабный коэффициент ускорения кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , который определяется формулой:

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , (2.12)

где кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – значение ускорения точки А, полученное по формуле (2.11);

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – расстояние на плане ускорений от полюса кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru до точки а (выбирается самостоятельно в соответствии с форматом чертежа, мм).

Поскольку точка В движется плоскопараллельно, то ускорение точки В равно сумме ускорения полюса и ускорения данной точки во вращательном движении вокруг полюса:

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , (2.13)

где кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – вектор нормального ускорения точки В относительно полюса А; кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – вектор касательного ускорения точки В относительно полюса А;

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – вектор ускорения точки В относительно стойки О.

Нормальное ускорение кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru направлено вдоль АВ от точки В к центру вращения – полюсу А и определяется формулой:

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru . (2.14)

Величина отрезка на плане ускорений, соответствующего значению кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , определяется формулой:

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru . (2.15)

Касательное ускорение всегда направлено по касательной к траектории движения точки (перпендикулярно АВ) и выражается формулой:

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru ,

где кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – угловое ускорение шатуна 2 (оно пока не известно).

Поскольку ползун В движется поступательно, то вектор ускорения кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru лежит на прямой, параллельной движению ползуна (в нашем случае параллельно (ОВ)).Строим в общем виде план ускорений для положения механизма, представленного на рис.2.2 (см. рис. 2.6).

Порядок построения плана ускорений следующий: от полюса кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru строим ускорение точки А. Затем из конца вектора кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru проводим отрезок кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , соответствующий вектору нормального ускорения кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru . Через точку п проводим луч, перпендикулярный кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru . С другой стороны, из полюса кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru проводим луч, параллельный ходу движения ползуна В, соответствующий вектору ускорения кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru . Точка пересечения лучей даст нам ускорение точки В – b.

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru

Рис. 2.6. План ускорений механизма

Для определения численного значения ускорения точки В, воспользуемся формулой:

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , (2.16)

где кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – расстояние на плане ускорений от полюса кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru до точки b (мм).

Угловое ускорение движения шатуна 2определяем по формуле:

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , (2.17)

где кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – величина отрезка, взятого из плана скоростей (мм).

2.5. Теорема подобия для плана ускорений

Теорема. Отрезки прямых линий, соединяющие концы векторов абсолютных ускорений точек на плане ускорений, и отрезки прямых линий, соединяющие одноименные точки на плане механизма, образуют подобные и сходственно расположенные фигуры.

Рассмотрим применение теоремы подобия для плана ускорений на примере механизма, изображенного на рис. 2.7а.

Построим в общем виде план ускорений для этого механизма.

1. Определим ускорение точки А кривошипа. В общем случае кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , где кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – нормальное ускорение; кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – тангенциальное ускорение. Численно кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru ; кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , поскольку по условию задачи кривошип вращается равномерно. Таким образом, полное ускорение точки А равно ее нормальному ускорению: кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru .

Вектор кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru направлен вдоль звена ОА от точки А к точке О (см. рис. 2.7а).

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru

Рис. 2.7

2. Определим ускорение точки В шатуна 2. На основании теоремы об ускорениях точек тела, совершающего плоскопараллельное движение, составим векторное равенство: кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , где кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – ускорение точки В относительно точки А во вращательном движении шатуна 2 вокруг А; так как это движение неравномерное, то кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , следовательно, кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , где кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – соответственно нормальное и тангенциальное ускорения точки В в этом движении.

Вектор кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru направлен вдоль отрезка АВ от точки В к точке А (см. рис. 2.7а); вектор кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru перпендикулярен отрезку ВА; точка В одновременно принадлежит звену 3, совершающему возвратно-поступательное движение вдоль оси Ох; следовательно, вектор кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru параллелен оси Ох. Численно кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru .

3. Зададимся длиной отрезка кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru и вычислим длину вектора, изображающего на плане ускорений кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru : кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru .

4. На основании равенства кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru выполним построения (рис. 2.7б):

– из точки кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru проведем луч, параллельный кривошипу ОА, в направлении вектора кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru (см. рис. 2.7а) и отложим на нем отрезок кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru ;

– из точки а проведем луч, параллельный отрезку АВ шатуна 2, в направлении вектора кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru (см. рис. 2.7а) и отложим на нем отрезок а п;

– через точку п проведем прямую, перпендикулярную АВ, а через точку кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – прямую, параллельную оси Ох; их пересечение дает точку b. Вектор кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – ускорение точки В в масштабе кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru ;

– соединим на плане ускорений точку b с точкой а.

5. Определим ускорение точки С. Применим теорему подобия для плана ускорений:

– для построения на плане ускорений кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , подобного кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , на плане механизма составим две пропорции

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru и кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru ,

откуда получим

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru и кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , (2.18)

где кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – длина отрезка на плане ускорений, мм;

АВ, АС, ВС – длины отрезков на плане механизма, мм, которые могут быть получены измерением на плане механизма или взяты из условия задачи;

– используя результаты вычислений по формулам (2.18), выполним построения. Применим метод засечек: из точки а плана ускорений проведем дугу окружности раствором циркуля, равным ас. Из точки b проведем дугу окружности раствором циркуля, равным bc. Пересечение этих дуг дает точку с. При этом возможно два положения точки с, но верным является только одно из них. Правильность построений определяется условием сходственного расположения треугольников на плане ускорений и на плане положений механизма: если обходить вершины сторон треугольника АВС по ходу часовой стрелки, то получим последовательность их расположения А, В, С. Значит и при обходе вершин треугольника abc на плане ускорений по ходу часовой стрелки мы должны получить ту же последовательность их расположения – а, b, с. Это условие выполняется только при расположении точки с правее отрезка аb (см. рис. 2.7б).

Соединим точку с с полюсом кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru . Вектор кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – ускорение точки С в масштабе кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru .

Пример №4.Для заданного механизма (рис. 2.5а) построить план ускорений и определить ускорения всех точек, а также угловые ускорения всех звеньев механизма. Исходные данные взять из примера №3.

Дано: кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru .

Построить план ускорений механизма и определить: кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru .

Решение:

Ускорение точки А определяем по формуле (2.11):

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru .

На плане ускорений отмечаем полюс кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru и строим отрезок кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru в направлении вектора кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru (рис. 2.8а). Тогда масштабный коэффициент ускорения по формуле (2.12) будет равен:

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru .

По теореме о сложении ускорений при плоскопараллельном движении ускорение точки B равно кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru . Нормальную составляющую ускорения кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru определим по формуле (2.14):

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru .

Отрезок на плане ускорений, соответствующий данному вектору нормального ускорения по формуле (2.15) будет равен:

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru .

Из точки а на плане ускорений проводим луч, параллельный АВ, в направлении вектора кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru (рис. 2.8а) и отложим на нем отрезок кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru . Через точку п проведем прямую, перпендикулярную АВ (это линия действия вектора кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru ), а из полюса кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru прямую, параллельную ОВ – соответствующую направлению вектора кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru . Их пересечение дает точку b(рис. 2.8б).

Для определения численного значения ускорения точки В, воспользуемся формулой (2.16):

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru .

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru

Рис. 2.8

Угловое ускорение движения шатуна 2определяем по формуле (2.17):

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru .

Найдем ускорение остальных точек. Поскольку все точки звеньев совершают плоскопараллельное движение, то воспользуемся теоремой подобия для плана ускорений. Рассмотрим точку S2. Она принадлежит звену 2 и делит шатун АВ посередине. На плане ускорений точка s2 также будет делить отрезок аb пополам. Расстояние от полюса кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru до s2 и будет определять ускорение точки S2.

Точка С тоже принадлежит звену 2 и расположена на расстоянии кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru . На плане ускорений она так же будет отстоять от точка а на расстоянии кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru . Соединяем полюс и точку с – этот и есть вектор скорости точки С.

Рассмотрим точку D. Она принадлежит звену 1.

Порядок определения ускорения точки D аналогичен точке С.

План ускорений построен.

После определения направлений ускорений точек на плане ускорений, определим численное значение ускорений точек аналогично определению численного значения ускорения точки В:

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru ,

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru ,

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru .
3. КИНЕТОСТАТИКА ПЛОСКОГО РЫЧАЖНОГО МЕХАНИЗМА

ГО КЛАССА

Основной задачей кинетостатического (силового) анализа механизмов является определение реакций в кинематических парах. Значение этих сил необходимо при расчете звеньев механизма на прочность, жесткость, виброустойчивость, износостойкость, при расчете подшипников на долговечность и проведении других подобных расчетов, выполняемых при проектировании механизмов.

Если свободному перемещению данного тела в пространстве не препятствуют другие тела, оно называется свободным. Если другие тела путем непосредственного контакта с данным телом мешают ему свободно перемещаться в пространстве, оно называется несвободным, а эти другие тела называются связями по отношению к данному телу.

Силы, с которыми связи действуют на данное тело, называются реакциями связей (пассивными силами). Если сила не является реакцией связи, то она является активной или задаваемой. Иначе – активными называются силы, появление которых не связано с непосредственным контактом или соприкосновением тел (например, силы гравитационного, электромагнитного взаимодействия, другие силы, физическая природа возникновения которых может быть неизвестна, но они не являются реакциями связей).

Принцип освобождаемости от связей. Любое несвободное тело можно условно считать свободным, если действие наложенных на него связей заменить реакциями этих связей.

Все силы, действующие на данное тело (систему тел), могут быть разделены на внешние и внутренние. Внешние – это силы кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , действующие на данное тело или его точки со стороны других тел. Внутренние – это силы кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru взаимодействия между точками или частями данного тела (системы тел). Все внутренние силы абсолютно твердого тела образуют уравновешенную систему сил. Реакции внешних связей для данного тела всегда являются внешними силами.

Деление сил на внешние и внутренние является условным. Все зависит от того, что выбрано за объект исследования, что принято за данную или рассматриваемую механическую систему. Например, объект исследования – двигатель внутреннего сгорания. Давление поршня на кривошип и давление кривошипа на поршень – внутренние силы. Те же силы будут внешними, если объект исследования – отдельно рассматриваемый поршень или кривошип.

Дополнительная задача динамического анализа механизмов состоит в определении уравновешивающей силы или уравновешивающего момента, приложенных к кривошипу. Эти силовые факторы являются функциями положения кривошипа и в данный момент обеспечивают его состояние покоя или равномерного вращательного движения

Кинетостатический расчет механизмов ведется по структурным группам, так как они обладают нулевой подвижностью и, следовательно, являются статически определимыми системами. Кинетостатический расчет начинается с расчета структурной группы, в которую входит самое удаленное ведомое звено механизма, и завершается расчетом ведущего звена – кривошипа.

При выполнении кинетостатического расчета механизма должен быть задан закон движения ведущего звена и проведен полный кинематический анализ. Кроме того, должны быть заданы все внешние силы, действующие на механизм, например, силы «полезного» (производственного) сопротивления. К данным силам также относятся силы тяжести звеньев, которые определяются формулой:

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru , (3.1)

где кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – масса i-го звена, (кг);

кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru – ускорение свободного падения, кинематический анализ плоского рычажного механизма 2-го класса - student2.ru (м/с2).

Кинетостатический расчет механизмов основан на использовании принципа Даламбера.

Наши рекомендации