Силовой анализ плоского рычажного механизма

Для проведения силового анализа воспользуемся кинетостатическим методом, основанным на принципе Даламбера (в число заданных сил при расчёте входят силы инерции), при этом определим реакции связей кинематических пар и уравновешивающую силу (уравновешивающий момент).

Для проведения силового анализа построим в заданном масштабном коэффициенте длин одно положение механизма, для которого скорости и ускорения всех звеньев не равны нулю.

Возьмем седьмое положение механизма и построим его в масштабном коэффициенте длин

Рассчитаем силы, действующие на звенья.

Сила тяжести равна:

, (4.1)

где G_i - сила тяжести i-го звена, Н;

– масса i-го звена, кг;

– ускорение свободного падения, .

Масса звена определяем по формуле:

, (4.2)

где m_i – масса i-го звена, кг;

– удельная масса i-го звена, кг/м;

– длина i-го звена, м.

Удельные массы равны:

для кривошипов кг/м.

для шатунов кг/м.

Масса ползуна рассчитывается по формуле:

, (4.3)

где m_{ползуна} – масса ползуна, кг;

m_шатуна – масса шатуна, к которому прикреплен ползун, кг.

По формулам (4.2) и (4.3) определим массы звеньев:

,

,

,

,

.

По формуле (4.1) определим силы тяжести звеньев:

,

,

,

,

.

Откладываем вектора сил тяжести , , , и на положении механизма соответственно от точек , , , и .

Центр масс кривошипа лежит на оси вращения кривошипа.

Определим силы инерции звеньев.

Вектор силы инерции может быть определен по формуле:

(4.4)

где – вектор силы инерции i-го звена;

– масса i-го звена, кг;

– вектор полного ускорения центра масс i-го звена.

Как видно из формулы (4.4) вектор силы инерции направлен в противоположную сторону по отношению к вектору полного ускорения центра масс звена.

, (4.5)

где Fи_i – сила инерции i-го звена, Н;

m_i – масса i-го звена, кг;

аs_i – полное ускорение центра масс i-го звена, м/с².

Момент пары сил инерции направлен противоположно угловому ускорению и может быть определён по формуле:

(4.6)

где Ми_i – момент пары сил инерции i-го звена, Н·м;

Is_i – момент инерции i-го звена относительно оси, проходящей через центр масс s_i и перпендикулярной к плоскости движения звена, кг·м²;

ε_i – угловое ускорение i-го звена, с^-2.

Момент инерции шатуна определяется по формуле:

(4.7)

Величины ускорений центров масс , , и возьмем из плана ускорений.

Рассчитаем силы инерции по формуле (4.5):

Проведем силы инерции на десятом положении механизма.

Рассчитаем моменты инерции шатунов по формуле (4.7):

,

.

Рассчитаем моменты пар сил инерции для второго и четвертого звеньев по формуле (4.6):

,

.

Покажем на чертеже моменты пар сил инерции шатунов и укажем направление силы полезного сопротивления. Далее разбиваем механизм на группы звеньев и проводим их силовой расчет.

4.1 Силовой анализ структурной группы Ассура звеньев 2-3

Рассмотрим структурную группу Ассура 2-3. Запишем уравнение кинетостатического равновесия:

(4.8)

Где и – силы реакций, приложенные соответственно к звеньям 3 и 2 со стороны звеньев, образующих кинематические пары.

Запишем уравнение суммы моментов относительно точки B:

где h₃ – наименьшее расстояние от линии действия силы тяжести G₂ до точки В;

h₄ – наименьшее расстояние от линии действия силы F_u2 до точки В.

- наименьшее расстояние от линии действия силы R₂₄ до точки В

Таким образом в уравнении (4.8) осталось две неизвестных силы, их можно определить составлением векторного силового многоугольника. Для его составления воспользуемся выражением (4.8).

Подберем масштабный коэффициент сил :

, (4.9)

где µ_F – масштабный коэффициент сил, Н/мм;

– действительное значение известной максимальной силы, входящей в уравнение, Н;

– длина вектора, изображающего максимальную силу на плане сил, мм.

По формуле (4.9) определим масштабный коэффициент сил:

.

Для построения силового многоугольника переведем величины всех сил в масштабный коэффициент:

,

,

,

,

.

Из произвольной точки строим вектор , потом из конца этого вектора вектор и так далее по уравнению (4.8). Завершаем многоугольник сил, проводя из начала вектора прямую параллельную AB, а из конца вектора прямую, перпендикулярную OB. Точка пересечения позволяет построить силы и на плане сил и определить их истинное значение.

,

.

4.2 Силовой анализ структурной группы Ассура звеньев 4-5

Рассмотрим структурную группу Ассура 4-5. Запишем уравнение кинетостатического равновесия:

(4.10)

Где и – силы реакций, приложенные соответственно к звеньям 5 и 4 со стороны звеньев, образующих кинематические пары.

Запишем уравнение суммы моментов относительно точки D:

где h – наименьшее расстояние от линии действия силы тяжести G₄ до точки D;

h₁ – наименьшее расстояние от линии действия силы F_u4 до точки D.

Знак “-“ означает, что силу надо направить в обратную сторону.

Таким образом в уравнении (4.10) осталось две неизвестных силы, их можно определить составлением векторного силового многоугольника. Для его составления воспользуемся выражением (4.10).

Подберем масштабный коэффициент сил :

, (4.11)

где µ_F – масштабный коэффициент сил, Н/мм;

– действительное значение известной максимальной силы, входящей в уравнение, Н;

– длина вектора, изображающего максимальную силу на плане сил, мм.

По формуле (4.11) определим масштабный коэффициент сил:

.

Для построения силового многоугольника переведем величины всех сил в масштабный коэффициент:

,

,

,

мм

Из произвольной точки строим вектор , потом из конца этого вектора вектор и так далее по уравнению (4.10). Завершаем многоугольник сил, проводя из начала вектора прямую параллельную CD, а из конца вектора прямую, перпендикулярную OD. Точка пересечения позволяет построить силы и на плане сил и определить их истинное значение.

,

.

4.3 Силовой анализ первичного механизма

Рассмотрим первичное звено. Запишем уравнение кинетостатического равновесия:

(4.12)

Для нахождения тангенциальной составляющей силы составим уравнение суммы моментов относительно точки А:

;

Из уравнения выразим тангенциальную составляющую силы :

Запишем уравнение суммы моментов относительно точки O:

Примем масштабный коэффициент сил, для плана сил первичного механизма:

Строим многоугольник сил, для этого, сначала рассчитаем длины векторов сил на плане сил:

Из произвольной точки строим вектор , потом из конца этого вектора вектор и так далее по уравнению (4.12). Завершают многоугольник сил, соединяя конец вектора и начало вектора . Найдем величину силы .

Момент управляющего воздействия:

Теорема Жуковского

Для определения уравновешивающей силы, воспользуемся теоремой В.И. Жуковского: если механизм под действием системы силовых факторов, приложенных к характерным точкам механизма, находится в равновесии, то в равновесии будет находиться повернутый на 90º план скоростей, рассматриваемый как жесткий рычаг вращающейся вокруг полюса плана и нагруженный той же системой силовых факторов приложенных к одноименным точкам планов.

Построим для седьмого положения механизма повёрнутый на 90º по ходу вращения кривошипа план скоростей, в масштабном коэффициенте.

.

На повернутый план скоростей переносим вектора сил, действующие на звенья, в соответствующие точки в том направлении, в котором они действуют. При этом приложенные к звеньям 2 и 4 моменты пар сил инерции заменяем парами сил:

, (5.1)

где и – силы, образующие пару сил, Н;

– моменты пар сил инерции i-го звена, Н·м;

– длина i-го звена, м.

Рассчитаем по формуле (5.1) пары сил, действующие на звенья:

,

.

Силы , приложены в крайних точках звена.

Линия действия уравновешивающей силы перпендикулярна звену OA.

По методу Жуковского, сумма моментов вех сил , включая силы инерции и уравновешивающую силу, относительно полюса плана скоростей р равна нулю:

,

(5.2)

(5.3)

Измеряем плечи моментов на плане:

,

мм,

,

,

,

,

,

,

,

,

7,615мм,

Подставляя все найденные значения в формулу (5.3) и произведем вычисления, получим:

Высчитаем момент уравновешивающей силы:

Определим относительную погрешность, допущенную при определении уравновешивающего момента двумя способами:

, (5.4)

где , – максимальное и минимальное значения уравновешивающего момента, полученные в результате двух расчетов, Н.

Подставляя полученные значения в формулу (5.3), получим:

Данная погрешность получена в результате применения графоаналитического метода расчёта и округления численных значений и является допустимой.