Взаимное расположение прямых на плоскости

Пусть прямые l₁ и l₂ заданы общими уравнениями:

А₁х + В₁у + С₁ = 0,

А₂х + В₂у + С₂ = 0.

Нормальные векторы этих прямых: = (А₁; В₁) и = (А₂; В₂).

а) Прямая l₁ параллельна l₂ тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны, их одноименные координаты пропорциональны. Значит, условие

= ≠

является условием параллельности прямых.

б) Если выполняется условие

= = ,

то прямые l₁ и l₂ совпадают.

в) Если векторы и некомпланарны

≠ ,

то прямые l₁ и l₂ пересекаются. Точку пересечения прямых находим, решая систему уравнений

Угол φ между прямыми l₁ и l₂ определяется по формуле

cosφ = = .

д) Если прямые l₁ и l₂ взаимно перпендикулярны, то их нормальные векторы и также взаимно перпендикулярны и поэтому их скалярное произведение равно нулю:

А₁А₂ + В₁В₂ = 0.

Если прямые заданы каноническими уравнениями

, = (т₁; п₁);

, = (т₂; п₂),

то

а) = ↑↓ l₁ || l₂;

б) т₁т₂ + п₁п₂ = 0 l₁ l₂;

в) cosφ = = .

Пусть прямые l₁ и l₂ заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:

у = k₁х + b₁,

у = k х + b₂.

Тогда

а) k₁ = k₂ l₁ || l₂;

б) k₁ = l₁ l₂;

в) tgφ = .

Расстояние d от точки М₀(х₀, у₀) до прямой l, заданной общим уравнением Ах + Ву + С = 0, находится по формуле

d = .

Пример 1. Даны точки М(2; 3) и N(–1; 0). Составить уравнение прямой, проходящей через точку М перпендикулярно отрезку MN.

Решение

Найдем координаты вектора :

= (х_N – x_M; y_N – y_M) = (–1 – 2; 0 – 3) = (–3; –3).

По условию вектор является нормальным вектором искомой прямой.

Составим уравнение прямой, проходящей через заданную точку М (2; 3) с заданным нормальным вектором = (–3; –3):

–3(х – 2) –3(у –3) = 0

или

х + у – 5 = 0 – уравнение искомой прямой.

Пример 2.Определить угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси ординат прямой 2х + 5у – 10 = 0.

Решение

Разрешив уравнение 2х + 5у – 10 = 0 относительно у, получим:

у = – х + 2.

Сравнивая это уравнение с уравнением у = kх + b, находим k = , . b = 2.

Пример 3. Найти отрезки, отсекаемые на осях координат прямой

7х + 2у – 14 = 0.

Решение

Разделим обе части уравнения 7х + 2у – 14 = 0 на 14 и перенесем свободный член в правую часть:

,

.

Сравнивая полученные уравнения с уравнением в отрезках по осям , находим а = 2, b = 7.

Пример 4. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М (–2, 3) параллельно биссектрисе второго координатного угла.

Решение

Искомая прямая, как и биссектриса второго координатного угла, образует с положительным направлением оси Ох угол φ = 135°, поэтому k = tg135° = – 1. Так как точка М дана, то x₀ = – 2, y₀ = 3. Тогда уравнение y – y₀ = k(x – x₀) примет вид

у – 3 = (– 1)∙(х – (– 2)), у – 3 = – х + 2

или

х + у – 1 = 0.

Пример 5. Точки А(3; 5), В(– 1; 3), С(1; – 3) являются вершинами треугольника. Составить уравнение высоты треугольника, проведенной из вершины В.

Решение

Построим данный треугольник (рисунок 7). На высоте возьмем произвольную точку М(х; у) и рассмотрим вектор = (х + 1; у – 3), который является перпендикулярным вектору = (1 – 3; – 3 – 5) = (– 2; – 8). Значит, их скалярное произведение равно нулю: ∙ = 0. В координатной форме имеем

∙ = – 2∙(х + 1) – 8∙(у – 3) = 0,

или

(х + 1) + 4∙(у – 3) = 0,

Х + 4у – 11 = 0 – уравнение высоты BМ.

Рисунок 7 – Треугольник АВС

Пример 6. Даны вершина С(– 1; 3) прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника и уравнение его гипотенузы 3х – 4у – 12 = 0. Составить уравнения катетов.

Решение

Из уравнения гипотенузы выразим у и найдем ее угловой коэффициент:

3х – 4у – 12 = 0,

– 4у = – 3х + 12,

у = х – 3.

Следовательно, k₁ = .

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника наклонены к гипотенузе под углом 45°. По формуле tgφ = найдем угловые коэффициенты катетов:

tg45° = ,

±1 = .

Если 1 = , то k₂ = 7.

Если – 1 = , то k₂ = – .

Зная координаты точки С(– 1; 3), принадлежащей двум катетам, получим их уравнения:

у – 3 = 7(х + 1), 7х – у + 10 = 0.

у – 3 = – (х + 1), х + 7у – 20 = 0.

Пример 7. Найти уравнения прямых, которые параллельны прямой 12х + 5у – 7 = 0 и удалены от нее на расстояние равное трем.

Решение

Для любой точки прямой М(х; у) не лежащей на прямой 12х + 5у – 7 = 0, по формуле d = должно выполняться равенство

3 = ,

или

|12х + 5у – 7| = 3∙13,

|12х + 5у – 7| = 39.

Следовательно,

12х + 5у – 7 = 39 или 12х + 5у – 7 = – 39.

Таким образом, получим уравнения прямых

12х + 5у – 46 = 0 и 12х + 5у + 32 = 0.

Пример 8. Даны уравнения двух смежных сторон АВ и АD параллелограмма и точка N пересечения его диагоналей. Найти уравнения двух других сторон параллелограмма, если N(3; 3), х + у – 1 = 0 (АВ), 3х – у + 5 = 0 (АD).

Решение

Найдем координаты точки пересечения прямых АВ и АD, решив систему уравнений

Получили точку А(– 1; 2).

Найдем координаты точки С, применив формулы деления отрезка пополам (так как точка N – середина диагонали АС).

, .

Таким образом, имеем

, ,

откуда х_С = 7, у_С = 4, то есть С(7; 4).

Так как четырехугольник АВСD – параллелограмм, то АВ || СD и AD || CB и ↑↓ , ↑↓ . Значит, можно считать, что = = (1; 1), = = (3; – 1). Запишем уравнения сторон СD и СВ, используя уравнение (1.1). Имеем

3(х – 7) – (у – 4) = 0, 3х – у – 17 = 0 (СВ),

(х – 7) + (у – 4) = 0, х + у – 11 = 0 (СD).

Вопросы для самопроверки

1 Записать общее уравнение прямой на плоскости.

2 Каков геометрический смысл коэффициентов при х и у в общем уравнении прямой?

3 Записать уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку М₀(х₀; у₀) перпендикулярно вектору = (А; В).

4 Записать каноническое уравнение прямой на плоскости и указать геометрический смысл входящих в него параметров.

5 Записать параметрические уравнения прямой на плоскости.

6 Записать уравнение прямой с угловым коэффициентом и указать геометрический смысл входящих в него параметров.

7 Записать уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀; у₀) и образующей с осью абсцисс угол, тангенс которого равен k.

8 Записать уравнение прямой, проходящей через точки М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂).

9 Записать уравнение прямой в отрезках по осям и указать геометрический смысл входящих в него параметров.

10 Записать формулы, по которым можно найти угол φ между прямыми.

11 Записать условие параллельности и условие перпендикулярности двух прямых, заданных:

а) общими уравнениями;

б) каноническими уравнениями;

в) уравнениями с угловыми коэффициентами.

12 Чему равно расстояние от точки М₀(х₀; у₀) до прямой Ах + Ву + С = 0?

Задачи для самостоятельного решения

1Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(– 2; 2) параллельно вектору:

а) = (– 1; 1);

б) , если М₁(2; – 5), М₂(3; 1).

(Ответ: а) х + у = 0; б) 6х – у + 14 = 0)

2Найти уравнение прямой, проходящей через точку М(1; 2) с нормальным вектором = (3; – 4). (Ответ: 3х – 4у + 5= 0)

3При каком значении С точка М(3;– 2) принадлежит прямой 2х + 5у + С = 0. (Ответ: С = 4)

4Задана прямая 2х + 3у + 4 = 0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(2; 1):

а) параллельно данной прямой;

б) перпендикулярно данной прямой;

в) под углом 45° к данной прямой.

(Ответ: а) 2х + 3у – 7 = 0; б) 3х – 2у – 4 = 0; в) х – 5у + 3 = 0, 5х + у – 11 = 0)

5Найти уравнение прямой, проходящей через точку М(– 4; 10) и отсекающей отрезки равной длины на осях координат. (Ответ: х + у – 6 = 0)

6Дан треугольник с вершинами Р(3; 1), Q(– 3; – 1), R(5; 12). Найти уравнение медианы, проведенной из вершины R, и вычислить ее длину. (Ответ: 12х + 5у = 0, d = 13)

7Даны две вершины А(– 2; 1) и В(3; – 4) треугольника и точка N(5; – 1) пересечения его высот. Найти уравнения всех сторон треугольника. (Ответ: х + у + 1 = 0, 7х – 2у – 29 = 0, 2х + 3у + 1 = 0)

8Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1; – 2) и точку пересечения прямых 2х + 3у – 4 = 0 и 3х – 5у + 13 = 0. (Ответ: 2х + у = 0)

9Найти проекцию точки А(– 8; 12) на прямую, проходящую через точки М₁(2; – 3) и М₂(– 5; 1). (Ответ: (– 12; 5))

10Найти точку В, симметричную точке А(8; 12) относительно прямой х – 2у + 6 = 0. (Ответ: В(12; 4))

11Через точку А(2; 5) провести прямые, которые находятся на одинаковом расстоянии от точек М₁(– 1; 2) и М₂(5; 4). (Ответ: х – 2 = 0, х – 3у + 13 = 0)

12Найти угол между прямыми:

а) х + 5у – 3 = 0, 2х – 3у + 4 = 0;

б) х + 2у – 3 = 0, у = – – ;

в) у = х + 1, у = х – 3.

(Ответ: а) 45°; б) 0°; в) 45°)

13Определить, при каком значении параметра α прямые

(α – 1)х – 2αу + 5 = 0 и αх + 4αу – 6 = 0:

а) параллельны;

б) совпадают;

в) взаимно перпендикулярны.

(Ответ: а) α = 2; б) ни при каком α; в) α = )

14Две стороны квадрата лежат на прямых, заданных уравнениями 5х – 12у – 65 = 0 и 5х – 12у + 26 = 0. Найти площадь квадрата. (Ответ: 49)

15Доказать, что прямые 3х – 4у + 10 = 0 и 6х – 8у + 15 = 0 и найти расстояние между ними. (Ответ: )

Линии второго порядка

Окружность

Окружностью называют множество всех точек плоскости, равноудаленных от некоторой фиксированной точки, называемой центром окружности.

Если R – радиус окружности, а точка М(х₀; у₀) – центр окружности, то ее уравнение имеет вид

(х – х₀)² + (у – у₀)² = R².

Если центр окружности совпадает с началом координат, то ее уравнение записывается в виде

х² + у² = R².

Эллипс

Эллипсом называют множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек F₁ и F₂, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а, и большая, чем расстояние между фокусами 2с (2а > 2с).

Рисунок 8 – Эллипс

Каноническое уравнение эллипса:

= 1.

Начало координат О(0; 0) является центром симметрии эллипса, а оси координат – осями симметрии эллипса. Точки А(а; 0), С(– а; 0), В(0; b), D(0; – b) называются вершинами эллипса (рисунок 8).

b² = а² – с², а = ОА – большая полуось, b = ОВ – малая полуось. Координаты фокусов F₁(– c; 0), F₂(c; 0).

Отношение

ε = < 1

называется эксцентриситетом эллипса.

Прямые х = ± называются директрисами эллипса.

Если а < b, то фокусы эллипса находятся на оси Оу, с² = b² – а², ε = .

Гипербола

Гиперболой называют множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек F₁ и F₂, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а, и меньшая, чем расстояние между фокусами 2с (2а < 2с).

Рисунок 9 – Гипербола

Каноническое уравнение гиперболы:

= 1.

Начало координат О(0; 0) является центром симметрии гиперболы, а оси координат – осями гиперболы. Точки А(а; 0), В(– а; 0) называются вершинами гиперболы (рисунок 9).

b² = с² – а², а – действительная полуось, b – мнимая полуось. Координаты фокусов F₁(– c; 0), F₂(c; 0).

Отношение

ε = > 1

называется эксцентриситетом гиперболы.

Прямые у = ± х называются асимптотами гиперболы.

Гипербола, у которой a = b, называется равносторонней.

Уравнение

= – 1

также является уравнением гиперболы, но действительной осью этой гиперболы служит отрезок оси Оу длиной 2b.

Парабола

Параболой называют множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки F, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Рисунок 10 – Парабола

Каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох и проходящей через начало координат, имеет вид

у² = 2рх,

где р – расстояние от фокуса параболы F( ; 0) до ее директрисы х = – (рисунок 10).

Каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Оу с вершиной в начале координат, имеет вид

х² = 2ру.

В этом случае F(0; ) – фокус, у = – – уравнение директрисы.

Пример 1. Составить уравнение окружности, если точки М₁(3; 2), М₂(– 1; 6) – концы диаметра окружности.

Решение

Найдем координаты центра окружности по формулам деления отрезка пополам:

= = 1,

= = 4.

Вычислим радиус окружности:

ОМ₁ = R = = = 2 .

Тогда уравнение окружности:

(х – 1)² + (у – 4)² = 8.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если известно, что его большая полуось а = 12, а эксцентриситет ε = 0,5.

Решение

Известно, что ε = . Следовательно,

с = аε = 12∙0,5 = 6.

Используя соотношение b² = а² – с², получим

b² = 144 – 36 = 108.

Таким образом, искомое уравнение эллипса имеет вид

= 1.

Пример 3. Составить уравнение гиперболы, если известно, что она проходит через точку М(9; 8), а асимптоты заданы уравнениями у = ± х. Найти эксцентриситет гиперболы.

Решение

Из уравнений асимптот гиперболы находим = , или b = а.

Подставив в каноническое уравнение гиперболы полученное выражение для b, имеем

= 1.

Точка М(9; 8) принадлежит гиперболе, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы. Значит

= 1,

81 – 72 = а²,

а² = 9, а = 3.

Тогда b = а = = . Искомое уравнение гиперболы имеет вид

= 1.

Найдем эксцентриситет гиперболы:

ε = = = = .

Пример 4. Составить уравнение параболы, если известно, что:

а) фокус параболы F(5; 0), а ее директрисой является ось ординат;

б) парабола симметрична относительно оси Оу и проходит через точки О(0; 0) и М(6; – 2).

Решение

а) По условию р = 5 и вершина параболы имеет координаты (2,5; 0), то, используя уравнение у² = 2р(х – х₀), получим

у² = 10(х – 2,5),

у² = 10х – 25.

б) Запишем уравнение параболы в общем виде: х² = 2ру.

Точка М(6; – 2) удовлетворяет уравнению параболы, то есть

36 = 2р∙(– 2),

– 4р = 36,

р = – 9.

Тогда уравнение параболы имеет вид

х² = – 18у.

Вопросы для самопроверки

1 Какая линия называется эллипсом? Какие точки называются фокусами эллипса?

2 Записать каноническое уравнение эллипса.

3 Для эллипса, заданного каноническим уравнением = 1, указать оси симметрии и вершины.

4 Какая ось эллипса называется большой осью и какая – малой?

5 Пусть 2а и 2b – соответственно большая и малая оси эллипса, а 2с – расстояние между его фокусами. Какова зависимость между а, b и с?

6 Какая линия называется гиперболой? Какие точки называются фокусами гиперболы?

7 Записать каноническое уравнение гиперболы.

8 Для гиперболы, заданной каноническим уравнением = 1, указать оси симметрии и вершины.

9 Указать вершины гиперболы, заданной каноническим уравнением = 1.

10 Что является действительной осью гиперболы = 1?

11 Что является мнимой осью гиперболы = 1?

12 Пусть 2а и 2b – соответственно действительная и мнимая оси гиперболы, а 2с – расстояние между ее фокусами. Какова зависимость между а, b и с?

13 Записать уравнения асимптот гиперболы = 1.

14 Какая линия называется параболой? Какая точка называется фокусом параболы и какая прямая – директрисой, заданной уравнением у² = 2рх?

15 Записать каноническое уравнение параболы.

16 Какая точка называется вершиной параболы?

17 Что называется эксцентриситетом эллипса?

18 Чему равен эксцентриситет ε эллипса, заданного уравнением = 1, где а > b?

19 Что называется эксцентриситетом гиперболы?

20 Чему равен эксцентриситет ε гиперболы, заданной уравнением = 1?

Задачи для самостоятельного решения

1Составить уравнение окружности, которая имеет центр в точке М(2; 3) и касается прямой х – 2у + 1 = 0. (Ответ: (х – 2)² + (у – 3)² = )

2Составить уравнение окружности, которая проходит через точки А(5; 0) и В(1; 4), если ее центр лежит на прямой х + у – 3 = 0.

(Ответ: (х – 2)² + (у – 1)² = 10)

3Составить уравнение хорды окружности х² + у² = 49, которая делится точкой А(1; 2) пополам. (Ответ: х + 2у – 5 = 0)

4Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки М( ; ) и N(–2; ). (Ответ: = 1)

5Составить уравнение геометрического множества точек плоскости, расстояние от которых до точки А(0; 1) в два раза меньше расстояния до прямой у – 4 = 0. (Ответ: = 1)

6Составить каноническое уравнение эллипса, если известно, что малая полуось равна 6, а расстояние между фокусами равно 16. (Ответ: = 1)

7Эллипс касается оси абсцисс в вершине А(4; 0) и оси ординат в вершине В(0; – 3).Составить уравнение эллипса. (Ответ: = 1)

8Найти эксцентриситет эллипса, если известно, что:

а) большая ось втрое больше малой;

б) оси относятся как 5:3.

(Ответ: а) ; б) 0,8)

9Составить каноническое уравнение эллипса, если известно, что:

а) малая полуось равна 6, эксцентриситет равен 0,8;

б) расстояние между фокусами равно 6, эксцентриситет равен ;

в) сумма полуосей равна 10, расстояние между фокусами равно 4 .

(Ответ: а) = 1; б) = 1; в) = 1)

10Составить каноническое уравнение гиперболы, действительная ось которой равна 48, а эксцентриситет равен . (Ответ: = 1)

11Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку М(24; 5), если ее асимптоты заданы уравнениями у = ± х. (Ответ: = 1)

12Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса = 1. (Ответ: = 1)

13Найти уравнение параболы и ее директрисы, если известно, что парабола проходит через точку пересечения прямой х + у = 0 и окружности х² + у² – 4х = 0 и симметрична относительно оси Оу. (Ответ: х² = – 2у; у = )

14Составить уравнение параболы, если известно, что ее фокус находится в точке пересечения прямой 4х – 3у – 4 = 0 с осью Ох. (Ответ: у² = 4х)

15Привести уравнения линий второго порядка к каноническому виду, определить их тип и расположение на плоскости:

а) 4х² + 9у² – 40х + 36у + 100 = 0;

б) 16х² – 9у² – 64х – 18у + 199 = 0;

в) 5х² + 9у² – 30х + 18у + 9 = 0;

г) 3х² – 4у² – 12х + 24 = 0;

д) у² + 2у + 4х – 11 = 0.

(Ответ: а) = 1 – эллипс; б) = 1 – гипербола; в) = 1 – эллипс; г) = 1 – гипербола; д) (у + 1)² = – (х – 3) – парабола)